Springback Prediction in Plate Forming Based on Constitutive Model Embedded Deep Neural Network

doi:10.3969/j.issn.1004-132X.2026.06.021

Abstract

Abstract:

Several sheet metal forming experiments were conducted on the ship three-dimensional computational numerical control bending machine， and corresponding numerical method was validated by these experimental results. Considering actual production needs and processing accuracy， the Latin hypercube sampling method was employed to generate sampling points by intervals for model training， with the corresponding dataset obtained through numerical simulations and experimental validations. A constitutive equation-embedded deep learning neural network（CE-DNN） model was developed by optimizing the visual geometry group（VGG） network architecture through the integration of material-informed convolutional layers， thereby establishing a multi-parameter coupled learning system that synthesized material properties， thickness， and geometric features. The performance of the proposed model under data-constrained scenarios was quantitatively evaluated through data extrapolation and training set reduction strategies. Results demonstrate that the proposed model exhibites certain robustness when the training data for material， thickness， and shape parameters are reduced， while maintaining generalization capability in springback extrapolation prediction.

Key words: sheet metal forming, springback prediction, deep learning, constitutive relationship

摘要：

针对船舶三维数控弯板机这一船体外板成形设备，开展了板材回弹实验及仿真方法验证。考虑实际生产需求和加工精度，采用拉丁超立方采样方法间隔生成用于模型训练的工况数据，并采用验证后的仿真方法构建了模型训练集及预测集。提出了一种基于本构嵌入的深度学习模型（CE-DNN），在视觉几何组（VGG）网络中嵌入材料卷积层，构建融合材料参数、厚度及形状特征的多参数耦合学习框架。采用数据外推和训练集缩减策略量化评估该模型在数据受限场景下的性能，结果表明，该模型在材料、厚度和形状参数的训练数据量减少情况下具有一定的鲁棒性，同时在回弹数据外推预测方面具有一定的泛化性能。

关键词: 板材成形, 回弹预测, 深度学习, 本构关系

CLC Number:

TP181

ZHANG Long, LIANG Qiyu, WEI Xiao, WAN Chuang. Springback Prediction in Plate Forming Based on Constitutive Model Embedded Deep Neural Network[J]. China Mechanical Engineering, 2026, 37(6): 1486-1496.

张龙, 梁棋钰, 魏骁, 万闯. 基于本构嵌入深度学习模型的板材多点柔性成形回弹预测[J]. 中国机械工程, 2026, 37(6): 1486-1496.

Figures/Tables 36

Fig.1 True stress-strain curves

Tab.1 Material parameter

材料

屈服强度

σ_y/MPa

抗拉强度

σ_u/MPa

弹性模量

E/GPa

Fig.2 Schematic of a saddle surface

Tab.2 Experimental operating conditions and parameters

实验工况

材料

横向

半径R_x

纵向

半径R_y

Fig.3 Setup of ship three-dimensional computational numerical control bending machine［13］

Fig.4 Forming process of shect metal in SKWB-400 bending machine［14］

Fig.5 Sheet springback shape of QRX300RY300T10

Fig.6 Sheet springback shape of ARX300RY300T10

Fig.7 Sheet springback shape of ARX350RY350T10

Fig.8 Finite element model of sheet metal forming

Tab.3 Relative error of numerical simulation

工况名称	回弹量平均相对误差
QRX300QY300T10	18.57
ARX300QY300 T10	10.67
ARX350QY350 T10	4.73

Fig.9 Cross-section curves of QRX300RY300T10 after springback

Fig.10 Cross-section curves of ARX300RY300T10 after springback

Fig.11 Cross-section curves of ARX350RY350T10 after springback

Tab.4 Parameters in latin hypercube sampling

采样参数	取值范围
厚度T/mm	8~18
X方向成形曲率半径/mm	1500~2500
Y方向成形曲率半径/mm	1500~5000
材料种类	Q235（Y297），Q235（Y349）， Q235（Y252），A5083，EH36

Fig.12 Production process of thickness data

Fig.13 Production process of material data

Fig.14 Production process of shape data

Fig.15 Architecture and internal data flow of CE-DNN

Fig.16 The flowchart of prediction model

Fig.17 Material parameter matching

Tab.5 Model training performances

模型名称	数据量/组	训练时间	MSE
CE-DNN	100	2 h35 min	3.9×10 $- 4$

Tab.5 Model training performances

模型名称	数据量/组	训练时间	MSE
CE-DNN	100	2 h35 min	3.9×10 $- 4$

Fig.18 Training loss of CE-DNN

Fig.19 Springback prediction error diagram

Tab.6 Prediction results of CE-DNN model

工况名称	最大回弹量相对误差
QRX2000RY2000T12	0.92
QRX2000RY3000T18	2.35
QRX2000RY4500T16	1.00
ARX2500RY4500T12	7.98

Tab.7 Prediction accuracy of two models

最大回弹量相对误差	模型名称
最大回弹量相对误差	FCN	CE-DNN
QRX2000RY1500T12	6.77	2.54
QRX2000RY2000T12	3.37	1.87
QRX2000RY2300T14	10.07	8.76
QRX2000RY2600T18	10.38	9.11

Tab.8 Prediction accuracy of thickness extrapolation %

工况名称	外推百分比	最大回弹量相对误差
QRX2000RY2000T19	+10	6.05
QRX2000RY2000T20	+20	7.27
QRX2000RY2000T21	+30	2.21
QRX2000RY2000T22	+40	42.25
ARX2500RY2000T4	$-$ 40	27.80
ARX2500RY2000T5	$-$ 30	10.78
ARX2500RY2000T6	$-$ 20	9.51
ARX2500RY2000T7	$-$ 10	5.95

Tab.8 Prediction accuracy of thickness extrapolation %

工况名称	外推百分比	最大回弹量相对误差
QRX2000RY2000T19	+10	6.05
QRX2000RY2000T20	+20	7.27
QRX2000RY2000T21	+30	2.21
QRX2000RY2000T22	+40	42.25
ARX2500RY2000T4	$-$ 40	27.80
ARX2500RY2000T5	$-$ 30	10.78
ARX2500RY2000T6	$-$ 20	9.51
ARX2500RY2000T7	$-$ 10	5.95

Tab.9 Prediction accuracy of curvature extrapolation

工况名称	外推百分比	最大回弹量相对误差
QRX1500RY1400T12	+8.43	3.02
QRX1500RY1200T12	+17.27	5.09
QRX1500RY1100T12	+22.72	7.76
QRX1500RY1050T12	+26.05	43.98
QRX1500RY1000T12	+29.53	81.52

Fig.20 True stress-strain curves of aluminum alloy

Tab.10 Prediction accuracy of material extrapolation %

工况名称	材料	外推百分比	最大回弹量相对误差
RX1500RY1500T8	A2024	32	7.63
RX1500RY2000T8			9.31
RX1500RY2000T10			5.02
RX1500RY1500T8	A6061	45	19.69
RX1500RY1500T12			23.11
RX1500RY2500T8			22.33
RX1500RY1500T8	镁/铝复合板	63	78.45
RX1500RY1500T10			75.43
RX1500RY2000T8			83.43

Tab.11 Comparison of training accuracy by different thickness data

模型名称	数据量/组	训练时间	MSE
厚度 $-$ 10%	88	2 h	3.3×10 $- 4$
厚度 $-$ 30%	66	1 h37 min	3.2×10 $- 4$
厚度 $-$ 50%	53	1 h16 min	3.7×10 $- 4$

Tab.11 Comparison of training accuracy by different thickness data

模型名称	数据量/组	训练时间	MSE
厚度 $-$ 10%	88	2 h	3.3×10 $- 4$
厚度 $-$ 30%	66	1 h37 min	3.2×10 $- 4$
厚度 $-$ 50%	53	1 h16 min	3.7×10 $- 4$

Tab.12 Prediction results for thickness data reduction

工况名称	最大回弹量相对误差
工况名称	厚度 $-$ 50%	厚度 $-$ 30%	厚度 $-$ 10%	厚度 $-$ 0
QRX1500RY2000T12	21.11	13.76	5.73	4.59
QRX2000RY2000T12	17.51	7.75	5.60	3.73
ARX2500RY3000T8	22.01	7.86	5.50	3.55
ARX2500RY3000T18	16.50	4.87	4.17	3.34

Tab.12 Prediction results for thickness data reduction

工况名称	最大回弹量相对误差
工况名称	厚度 $-$ 50%	厚度 $-$ 30%	厚度 $-$ 10%	厚度 $-$ 0
QRX1500RY2000T12	21.11	13.76	5.73	4.59
QRX2000RY2000T12	17.51	7.75	5.60	3.73
ARX2500RY3000T8	22.01	7.86	5.50	3.55
ARX2500RY3000T18	16.50	4.87	4.17	3.34

Tab.13 Comparison of training accuracy by different curvature data

模型名称	数据量/组	训练时间	σ_MSE
曲率 $-$ 10%	88	2 h4 min	2.5×10 $- 4$
曲率 $-$ 30%	66	1 h32 min	5.9×10 $- 4$

Tab.13 Comparison of training accuracy by different curvature data

模型名称	数据量/组	训练时间	σ_MSE
曲率 $-$ 10%	88	2 h4 min	2.5×10 $- 4$
曲率 $-$ 30%	66	1 h32 min	5.9×10 $- 4$

Tab.14 Prediction results for curvature data reduction

工况名称	最大回弹量相对误差
工况名称	曲率 $-$ 30%	曲率 $-$ 10%	曲率 $-$ 0
QRX1500RY2000T12	16.61	5.80	4.59
QRX1500RY3500T8	18.37	6.64	5.25
QRX2000RY3500T16	14.26	3.56	1.17
ARX2500RY1500T18	28.88	8.42	7.82

Tab.14 Prediction results for curvature data reduction

工况名称	最大回弹量相对误差
工况名称	曲率 $-$ 30%	曲率 $-$ 10%	曲率 $-$ 0
QRX1500RY2000T12	16.61	5.80	4.59
QRX1500RY3500T8	18.37	6.64	5.25
QRX2000RY3500T16	14.26	3.56	1.17
ARX2500RY1500T18	28.88	8.42	7.82

Tab.15 Comparison of training accuracy by different material data

模型名称	数据量/组	训练时间	MSE
材料 $-$ 20%	82	1 h 57 min	1.2×10 $- 4$
材料 $-$ 40%	61	1 h 35 min	2.0×10 $- 4$

Tab.15 Comparison of training accuracy by different material data

模型名称	数据量/组	训练时间	MSE
材料 $-$ 20%	82	1 h 57 min	1.2×10 $- 4$
材料 $-$ 40%	61	1 h 35 min	2.0×10 $- 4$

Tab.16 Prediction results for material data reduction %

模型名称（去除材料种类）	最大回弹量相对误差
模型名称（去除材料种类）	多工况平均差值	多模型平均差值
材料 $-$ 0	6.55	6.55
材料 $-$ 20%（A5083）	7.03	6.30
材料 $-$ 20%（Q297）	6.38
材料 $-$ 20%（Q349）	5.69
材料 $-$ 20%（Q235）	4.77
材料 $-$ 20%（EH36）	7.62
材料 $-$ 40%（A5083+EH36）	7.82	6.54
材料 $-$ 40%（A5083+Q235）	7.73
材料 $-$ 40%（A5083+Q297）	7.72
材料 $-$ 40%（A5083+Q349）	6.97
材料 $-$ 40%（Q235+EH36）	7.19
材料 $-$ 40%（Q297+EH36）	5.86
材料 $-$ 40%（Q297+Q235）	4.43
材料 $-$ 40%（Q297+Q349）	4.15
材料 $-$ 40%（Q349+EH36）	4.52
材料 $-$ 40%（Q349+Q235）	6.55

Tab.16 Prediction results for material data reduction %

模型名称（去除材料种类）	最大回弹量相对误差
模型名称（去除材料种类）	多工况平均差值	多模型平均差值
材料 $-$ 0	6.55	6.55
材料 $-$ 20%（A5083）	7.03	6.30
材料 $-$ 20%（Q297）	6.38
材料 $-$ 20%（Q349）	5.69
材料 $-$ 20%（Q235）	4.77
材料 $-$ 20%（EH36）	7.62
材料 $-$ 40%（A5083+EH36）	7.82	6.54
材料 $-$ 40%（A5083+Q235）	7.73
材料 $-$ 40%（A5083+Q297）	7.72
材料 $-$ 40%（A5083+Q349）	6.97
材料 $-$ 40%（Q235+EH36）	7.19
材料 $-$ 40%（Q297+EH36）	5.86
材料 $-$ 40%（Q297+Q235）	4.43
材料 $-$ 40%（Q297+Q349）	4.15
材料 $-$ 40%（Q349+EH36）	4.52
材料 $-$ 40%（Q349+Q235）	6.55

References 16

[1]	SHEN Wei， YAN Renjun， LI Shuangyin， et al. Spring-back Analysis in the Cold-forming Process of Ship Hull Plates［J］. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2018， 96（5）： 2341-2354.
[2]	惠生猛，毛晓博，湛利华. 铝锂合金回弹预测的机器学习及有限元仿真与实验［J］. 中国机械工程， 2024， 35（12）： 2114-2121.
	HUI Shengmeng， MAO Xiaobo， ZHAN Lihua. Machine Learning and Finite Element Simulation and Experimentation for Springback Prediction of Al-Li Alloys［J］. China Mechanical Engineering， 2024， 35（12）： 2114-2121.
[3]	DAVOODI B， ZAREH-DESARI B. Assessment of Forming Parameters Influencing Spring-back in Multi-point Forming Process： a Comprehensive Experimental and Numerical Study［J］. Materials & Design， 2014， 59： 103-114.
[4]	LOW D W W， AKSHAY C， JIRATHEARANAT S， et al. Improving Geometric Accuracy in Incremental Sheet Metal Forming Using Convolutional Neural Networks［J］. International Journal of Mechatronics and Manufacturing Systems， 2023， 16（2/3）： 201-224.
[5]	HE Jingsheng， Shiyi CU， XIA Hui， et al. High Accuracy Roll Forming Springback Prediction Model of SVR Based on SA-PSO Optimization［J］. Journal of Intelligent Manufacturing， 2025， 36（1）： 167-183.
[6]	聂昕，谭天，申丹凤. 基于深度学习的汽车梁类件冲压回弹研究［J］. 中国机械工程， 2023， 34（7）： 838-846.
	NIE Xin， TAN Tian， SHEN Danfeng. Research on Stamping Springback of Automobile Beam Parts Based on Deep Learning［J］. China Mechanical Engineering， 2023， 34（7）： 838-846.
[7]	ZHANG Chong， LOU Yanshan. Influences of the Evolving Plastic Behavior of Sheet Metal on V-bending and Springback Analysis Considering Different Stress States［J］. International Journal of Plasticity， 2024， 173： 103889.
[8]	SUMIKAWA S， ISHIWATARI A， HIRAMOTO J. Improvement of Springback Prediction Accuracy by Considering Nonlinear Elastoplastic Behavior after Stress Reversal［J］. Journal of Materials Processing Technology， 2017， 241： 46-53.
[9]	YANG X， CHOI C， SEVER N K， et al. Prediction of Springback in Air-bending of Advanced High Strength Steel （DP780） Considering Young׳s Modulus Variation and with a Piecewise Hardening Function［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2016， 105： 266-272.
[10]	LI Dongwei， LIU Jinxiang， FAN Yongsheng， et al. A Preliminary Discussion about the Application of Machine Learning in the Field of Constitutive Modeling Focusing on Alloys［J］. Journal of Alloys and Compounds， 2024， 976： 173210.
[11]	LEE S Y， YOON S Y， KIM J H， et al. Evaluation of Loading-path-dependent Constitutive Models for Springback Prediction in Martensitic Steel Forming［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2023， 251： 108317.
[12]	LIU Shiming， XIA Yifan， SHI Zhusheng， et al. Deep Learning in Sheet Metal Bending with a Novel Theory-guided Deep Neural Network［J］. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica， 2021， 8（3）： 565-581.
[13]	ZHU Ling， LIANG Qiyu， YU T X， et al. Experimental and Theoretical Study of Constant Curvature Multi-square Punch Forming Process of Strips under Follower Load［J］. International Journal of Mechanical Sciences， 2019， 156： 462-473.
[14]	梁棋钰. 板条在多压头作用下塑性成形及回弹研究［D］. 武汉：武汉理工大学， 2020.
	LIANG Qiyu. Multi-square Punch Forming and Springback Prediction of Strips［D］. Wuhan： Wuhan University of Technology， 2020.
[15]	朱凌，董金辉，梁棋钰. 基于全卷积神经网络的板条多压头成形回弹预测及模具设计［J］. 中国舰船研究， 2023， 18（6）： 197-207.
	ZHU Ling， DONG Jinhui， LIANG Qiyu. Springback Prediction and Mould Design for Multi-square Punch Forming of the Strip Based on FCN［J］. Chinese Journal of Ship Research， 2023， 18（6）： 197-207.
[16]	李莎，楚志兵，桂海莲，等. 退火态CFR镁/铝复合板界面形貌与力学性能研究［J］. 塑性工程学报， 2024， 31（3）： 144-156.
	LI Sha， CHU Zhibing， GUI Hailian， et al. Research on Interface Morphology and Mechanical Properties of Annealed CFR Mg/Al Composite Plates［J］. Journal of Plasticity Engineering， 2024， 31（3）： 144-156.