一种面向多保真Kriging模型结构可靠性分析的主动学习方法

doi:10.3969/j.issn.1004-132X.2026.02.018

摘要/Abstract

摘要：

提出了一种基于多保真Kriging模型与主动学习的结构可靠性分析方法。通过三阶段选择确定每次迭代过程中样本点的更新位置与空间位置，第一阶段通过集成多种学习函数确定最优样本点集合；第二阶段通过所提BES方法（beneficial effect strategy）确定样本点的更新位置；第三阶段运用Bootstrap自举抽样法从最优样本点集合中确定样本点的空间位置。通过两个数值算例与一个工程实际算例证明了所提方法的有效性与高效性。与目前先进的多保真结构可靠性方法相比，当模型的保真度较低时能有效地避免计算失败，证明了所提方法的先进性与较好的适用性。

关键词: 结构可靠性, 主动学习, 多保真Kriging模型, 保真度选择策略

Abstract:

A structural reliability method was proposed based on multi-fidelity Kriging modeling with active learning， which determined the computational and spatial locations of sample points during each iteration through a three-stage selection. Firstly， the optimal set of sample points was determined by ensemble multiple learning functions. Secondly， the computational locations of the sample points were determined by the proposed BES（beneficial effect strategy）. Finally， the spatial locations of the sample points were determined from the optimal set of sample points by applying Bootstrap sampling method. The effectiveness and efficiency of the method was demonstrated by two numerical examples and one practical engineering example. Compared with the current advanced multi-fidelity model structure reliability method， when the fidelity of the model is lower， the computational failure may be effectively avoided， which shows the advanced and better applicability of the method.

Key words: structural reliability, active learning, multi-fidelity Kriging model, fidelity selection strategy

中图分类号:

TP181

杜尊峰, 樊涛, 姜登耀. 一种面向多保真Kriging模型结构可靠性分析的主动学习方法[J]. 中国机械工程, 2026, 37(2): 428-441.

DU Zunfeng, FAN Tao, JIANG Dengyao. A New Active Learning Method for Structural Reliability Analysis of Multi-fidelity Kriging Models[J]. China Mechanical Engineering, 2026, 37(2): 428-441.

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图/表 23

图1 Believer策略机理展示

Fig.1 Demonstration of Believer strategy mechanism

图2 Bootstrap自举抽样法示意图

Fig.2 Bootstrap sampling method schematic

图3 不同保真度模型的LSF示意图

Fig.3 Schematic representation of LSF for different fidelity models

图 4 ELF-BES方法更新过程

Fig.4 Updating process of ELF-BES

表1 算例1各方法计算结果对比

Tab.1 Calculation results for each method in example 1

计算模型	方法	计算次数T_MF	$P ̂$ $f$ /10 $- 2$	$ε P f$ /%
高保真模型	MCS	1×10⁶	3.12
	AK-EFF	48.7	3.14	2.22
	AK-U	40.5	3.13	2.02
	AK-ERF	44.4	3.13	2.01
	AK-RLCB	33.9	3.12	1.77
	AK-H	52.3	3.13	2.50
	AK-REIF2	30.4	3.14	1.58
多保真模型	AMFK-D	27.5 （15.6+59.5×0.2）	3.16	1.43
	AMK-AEFF	23.8 （13.8+50.1×0.2）	3.13	0.92
	BSC-Believer	19.6 （12.6+35.0×0.2）	3.12	0.46
	ELF-BES	19.7 （12.4+36.4×0.2）	3.12	0.83

表1 算例1各方法计算结果对比

Tab.1 Calculation results for each method in example 1

计算模型	方法	计算次数T_MF	$P ̂$ $f$ /10 $- 2$	$ε P f$ /%
高保真模型	MCS	1×10⁶	3.12
	AK-EFF	48.7	3.14	2.22
	AK-U	40.5	3.13	2.02
	AK-ERF	44.4	3.13	2.01
	AK-RLCB	33.9	3.12	1.77
	AK-H	52.3	3.13	2.50
	AK-REIF2	30.4	3.14	1.58
多保真模型	AMFK-D	27.5 （15.6+59.5×0.2）	3.16	1.43
	AMK-AEFF	23.8 （13.8+50.1×0.2）	3.13	0.92
	BSC-Believer	19.6 （12.6+35.0×0.2）	3.12	0.46
	ELF-BES	19.7 （12.4+36.4×0.2）	3.12	0.83

图5 算例1各方法30次求解的情况

Fig.5 The case of 30 solutions for each method of calculation example 1

图6 Non-linear Oscillator问题示意图

Fig.6 Schematic diagram of the Non-linear Oscillator problem

表2 随机变量分布信息

Tab.2 Information on the distribution of random variables

变量	分布类型	均值	标准差
c₁	正态分布	1	0.1
c₂	正态分布	0.1	0.01
M	正态分布	1	0.05
R	正态分布	0.5	0.05
t₁	正态分布	1	0.2
F₁	正态分布	1	0.2

表3 算例2各方法计算结果

Tab.3 Calculation results for each method in example 2

计算模型	方法	计算次数T_MF	$P ̂$ $f$ /10 $- 2$	$ε P f$ /%
高保真模型	MCS	1×10⁶	2.87	-
	AK -EFF	116.5	2.85	1.82
	AK-U	132.3	2.85	2.23
	AK-ERF	118.0	2.86	1.70
	AK -RLCB	48.0	2.91	3.26
	AK-H	146.0	2.87	2.69
	AK-REIF2	140.8	2.88	2.25
多保真模型	AMFK-D	157.2（147.8+94.2×0.1）	2.84	3.43
	AMK-AEFF	151.8（140.6+111.4×0.1）	2.83	2.59
	BSC-Believer	36.6（24.7+119.3×0.1） Failed：4\|30	2.54	11.27
	ELF-BES	40.0（28.6+113.5×0.1）	2.86	1.59

表3 算例2各方法计算结果

Tab.3 Calculation results for each method in example 2

计算模型	方法	计算次数T_MF	$P ̂$ $f$ /10 $- 2$	$ε P f$ /%
高保真模型	MCS	1×10⁶	2.87	-
	AK -EFF	116.5	2.85	1.82
	AK-U	132.3	2.85	2.23
	AK-ERF	118.0	2.86	1.70
	AK -RLCB	48.0	2.91	3.26
	AK-H	146.0	2.87	2.69
	AK-REIF2	140.8	2.88	2.25
多保真模型	AMFK-D	157.2（147.8+94.2×0.1）	2.84	3.43
	AMK-AEFF	151.8（140.6+111.4×0.1）	2.83	2.59
	BSC-Believer	36.6（24.7+119.3×0.1） Failed：4\|30	2.54	11.27
	ELF-BES	40.0（28.6+113.5×0.1）	2.86	1.59

图7 基于多保真模型的结构可靠性方法的30次求解情况

Fig.7 Demonstration of 30 solutions of the structural reliability method based on multi-fidelity modeling

图8 低保真Multimodal函数相关系数r2及低保真LSF值随C的变化

Fig.8 Correlation coefficient of low-fidelity multimodal function and variation of low-fidelity LSF with C

表4 不同相关系数r2下不同方法30次运行中计算失败次数

Tab.4 Number of failed calculations across 30 runs for different methods under different correlation coefficients

C	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.6	2.0
r²	0.95	0.84	0.67	0.49	0.35	0.24	0.17	0.10	0.09
BSC-Believer	0\|30	2\|30	5\|30	7\|30	16\|30	13\|30	14\|30	13\|30	15\|30
ELF-BES	0\|30	0\|30	0\|30	1\|30	0\|30	2\|30	0\|30	1\|30	3\|30

图9 BSC-Believer方法的计算次数随r2变化的分布

Fig.9 Variation of the number of calculations with the correlation coefficient for the BSC-Believer method

图10 ELF-BES方法的计算次数随r2变化的分布情况

Fig.10 Variation of the number of calculations with the correlation coefficient for the ELF-BES method

表5 保守停止准则下ELF-BES方法失败情况统计

Tab.5 Failure statistics of the ELF-BES method under the conservative stopping criterion

C	$r 2$	方法	计算次数T_MF
0.6	0.49	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	35.2（23.9+56.6×0.2）
0.8	0.35	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	35.6（24.3+56.3×0.2）
1.0	0.24	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	38.6（26.5+60.5×0.2）
1.2	0.17	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	38.2（26.0+60.9×0.2）
1.6	0.10	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	43.0（30.0+66.8×0.2）
2.0	0.09	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	48.4（33.2+76.1×0.2）

表5 保守停止准则下ELF-BES方法失败情况统计

Tab.5 Failure statistics of the ELF-BES method under the conservative stopping criterion

C	$r 2$	方法	计算次数T_MF
0.6	0.49	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	35.2（23.9+56.6×0.2）
0.8	0.35	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	35.6（24.3+56.3×0.2）
1.0	0.24	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	38.6（26.5+60.5×0.2）
1.2	0.17	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	38.2（26.0+60.9×0.2）
1.6	0.10	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	43.0（30.0+66.8×0.2）
2.0	0.09	ELF-BES（ $ε 1 = 0.1$ ， $ε 2 = 0.01$ ）	48.4（33.2+76.1×0.2）

表6 ELF-BES2对各算例的计算结果

Tab.6 Results of the ELF-BES2 for each example

算例	计算方法	计算次数T_MF	$P ̂$ $f$ /10 $- 2$	$ε P f$ /%
算例1	BSC-Believer	19.6 （12.6+35.0×0.2）	3.12	0.46
	ELF-BES1	19.7 （12.4+36.4×0.2）	3.12	0.83
	ELF-BES2	21.1 （13.8+36.4×0.2）	3.11	0.94
算例2	BSC-Believer	36.6 （24.7+119.3×0.1） Failed：4\|30	2.54	11.27
	ELF-BES1	40.0 （28.6+113.5×0.1）	2.86	1.59
	ELF-BES2	42.8 （31.3+114.9×0.1）	2.86	1.23

表6 ELF-BES2对各算例的计算结果

Tab.6 Results of the ELF-BES2 for each example

算例	计算方法	计算次数T_MF	$P ̂$ $f$ /10 $- 2$	$ε P f$ /%
算例1	BSC-Believer	19.6 （12.6+35.0×0.2）	3.12	0.46
	ELF-BES1	19.7 （12.4+36.4×0.2）	3.12	0.83
	ELF-BES2	21.1 （13.8+36.4×0.2）	3.11	0.94
算例2	BSC-Believer	36.6 （24.7+119.3×0.1） Failed：4\|30	2.54	11.27
	ELF-BES1	40.0 （28.6+113.5×0.1）	2.86	1.59
	ELF-BES2	42.8 （31.3+114.9×0.1）	2.86	1.23

图11 不同算例下不同方法的相对误差和停止准则收敛曲线

Fig.11 Convergence curves of relative error and stopping criterion for different methods under different examples

图12 某半潜式生产储油平台结构示意图

Fig.12 Schematic structure of a semi-submersible production and storage platform

图13 有限元求解结果

Fig.13 Finite element solution results

表7 板架结构设计参数

Tab.7 Plate rack structure design parameters

参数类型	参数名称	参数取值
结构参数	纵骨间距l₁/mm	600
	肋骨间距l₂/mm	1460
	纵桁间距l₃/mm	2400
	倒角半径R/mm	1200
	侧板厚度t/mm	25
	纵桁厚度t₁/mm	20
	肋骨厚度t₂/mm	25
	纵骨长边尺寸/mm	260
	纵骨短边尺寸/mm	55
	纵骨长/短边厚度/mm	10
材料参数	泊松比	0.3
	弹性模量E/MPa	2.06×10⁵
	材料密度ρ/（kg·m $- 3$ ）	7.85×10⁴
	屈服极限σ_s/MPa	360

表7 板架结构设计参数

Tab.7 Plate rack structure design parameters

参数类型	参数名称	参数取值
结构参数	纵骨间距l₁/mm	600
	肋骨间距l₂/mm	1460
	纵桁间距l₃/mm	2400
	倒角半径R/mm	1200
	侧板厚度t/mm	25
	纵桁厚度t₁/mm	20
	肋骨厚度t₂/mm	25
	纵骨长边尺寸/mm	260
	纵骨短边尺寸/mm	55
	纵骨长/短边厚度/mm	10
材料参数	泊松比	0.3
	弹性模量E/MPa	2.06×10⁵
	材料密度ρ/（kg·m $- 3$ ）	7.85×10⁴
	屈服极限σ_s/MPa	360

表8 随机变量分布

Tab.8 Distribution of random variables

变量	分布类型	均值	标准差	截断区间
纵骨间距l₁/mm	正态分布	600	20	［580，620］
倒角半径R/mm	正态分布	1200	60	［1150，1250］
肋骨间距l₂/mm	正态分布	1460	50	［1440，1480］
侧板厚度t/mm	正态分布	25	2	［22，28］
肋骨厚度t₂/mm	正态分布	25	2	［22，28］
纵桁厚度t₁/mm	正态分布	20	2	［18，22］
弹性模量E/MPa	正态分布	2.06×10⁵	8.24×10³	—

图14 不同方法30次计算结果

Fig.14 Results of 30 calculations with different methods

表9 多保真模型下各方法计算结果对比

Tab.9 Comparison of the calculation results of each method under the multi-fidelity model

	方法	计算次数T_MF	$P ̂$ $f$ /10 $- 2$	$ε P f$ /%
	MCS	100 000	4.13	-
	AK-U	16+417.8	4.12	0.98
	AK -EFF	16+91.3	4.12	1.13
	AK -RLCB	16+78.8	4.11	1.61
	AK -ERF	16+134.3	4.13	1.61
低保真模型1	AMK-AEFF	Failed（不收敛）	-	-
	BSC-Believer	57.8（30.7+108.4/4） Failed：1\|30	4.01	4.22
	ELF-BES1	55.4（26.5+115.6/4）	4.10	1.62
	ELF-BES2	57.1（28.9+113/4）	4.13	1.60
低保真模型2	AMK-AEFF	Failed（不收敛）	-	-
	BSC-Believer	55.6（33.3+134.1/6） Failed：1\|30	4.21	4.92
	ELF-BES1	60.3（36.3+144.2/6）	4.14	1.56
	ELF-BES2	57.1（34.5+136/6）	4.12	1.68

表9 多保真模型下各方法计算结果对比

Tab.9 Comparison of the calculation results of each method under the multi-fidelity model

	方法	计算次数T_MF	$P ̂$ $f$ /10 $- 2$	$ε P f$ /%
	MCS	100 000	4.13	-
	AK-U	16+417.8	4.12	0.98
	AK -EFF	16+91.3	4.12	1.13
	AK -RLCB	16+78.8	4.11	1.61
	AK -ERF	16+134.3	4.13	1.61
低保真模型1	AMK-AEFF	Failed（不收敛）	-	-
	BSC-Believer	57.8（30.7+108.4/4） Failed：1\|30	4.01	4.22
	ELF-BES1	55.4（26.5+115.6/4）	4.10	1.62
	ELF-BES2	57.1（28.9+113/4）	4.13	1.60
低保真模型2	AMK-AEFF	Failed（不收敛）	-	-
	BSC-Believer	55.6（33.3+134.1/6） Failed：1\|30	4.21	4.92
	ELF-BES1	60.3（36.3+144.2/6）	4.14	1.56
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