融合小波变换与多重分形理论的涡旋盘表面形貌分析

doi:10.3969/j.issn.1004-132X.2026.08.020

摘要/Abstract

摘要：

涡旋盘侧壁面形貌与其寿命、耐磨性和可靠性密切相关，为准确表征其加工表面，提出一种结合小波变换与多重分形理论的定量分析方法。首先采用白光干涉仪测量涡旋盘表面数据，并通过小波变换提取粗糙度信息；随后引入 Weierstrass-Mandelbrot （W-M）函数分析表面形貌随分形维数变化的规律；采用差分盒维数法计算分形维数，基于多重分形谱进一步分析其局部特征。研究结果表明，小波变换能够有效提取粗糙度信息，分形维数和分形谱参数可准确表征其表面复杂性与局部均一性。相比于传统粗糙度，分形维数的离散性和误差更低，分形谱参数可有效识别局部缺陷，两种分形参数结合，能从整体和局部两个维度全面表征涡旋盘微观形貌，为实现其表面质量的精确评估提供了理论支持。

关键词: 涡旋盘, 小波变换, 多重分形理论, 分形维数, 多重分形谱

Abstract:

The The surface topography of the scroll sidewall is critical to its lifespan， wear resistance， and reliability. To enable accurate characterization of the machined surface， this study proposes a quantitative analysis method that integrates wavelet transform and multifractal theory. Surface data of the scroll are acquired using a white light interferometer， from which roughness information is extracted via wavelet transform. The Weierstrass-Mandelbrot （W-M） function is then employed to investigate the dependence of surface topography on fractal dimension. The fractal dimension is computed using the differential box-counting method， and local topographic features are further analyzed based on the multifractal spectrum. The results demonstrate that wavelet transform effectively extracts roughness information， while the fractal dimension and multifractal spectrum parameters accurately characterize surface complexity and local uniformity. Compared with conventional roughness parameters， the fractal dimension exhibits lower variability and error， and the multifractal spectrum parameters prove effective in detecting local surface defects. By combining these two fractal parameters， the microscopic surface topography of the scroll can be comprehensively characterized at both global and local scales， providing a theoretical foundation for precise surface quality evaluation.

Key words: scroll, wavelet transform, multifractal theory, fractal dimension, multifractal spectrum

中图分类号:

TG54

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图/表 15

图1 表面形貌数据测量

Fig.1 Measurement of surface topography data

表1 不同小波基函数的重构误差

Tab.1 Reconstruction errors of different wavelet basis functions

小波基函数	重构误差	小波基函数	重构误差
Sym2	11.44×10 $- 12$	Bior2.4	2.48×10 $- 14$
Sym3	65.86×10 $- 12$	Bior2.6	2.66×10 $- 14$
Sym4	4.29×10 $- 12$	Bior2.8	3.73×10 $- 14$
Sym5	1.47×10 $- 12$	Bior3.1	4.61×10 $- 14$
Sym6	7.24×10 $- 12$	Bior3.3	3.55×10 $- 14$
Sym7	5.11×10^-12	Bior3.5	3.55×10 $- 14$
Sym8	2.51×10 $- 12$	Bior3.7	3.37×10 $- 14$
Bior1.3	3.90×10 $- 14$	Bior3.9	3.90×10 $- 14$
Bior1.5	3.73×10 $- 14$	Bior4.4	49.5×10 $- 14$
Bior2.2	4.08×10 $- 14$	Bior5.5	15.3×10 $- 12$

表1 不同小波基函数的重构误差

Tab.1 Reconstruction errors of different wavelet basis functions

小波基函数	重构误差	小波基函数	重构误差
Sym2	11.44×10 $- 12$	Bior2.4	2.48×10 $- 14$
Sym3	65.86×10 $- 12$	Bior2.6	2.66×10 $- 14$
Sym4	4.29×10 $- 12$	Bior2.8	3.73×10 $- 14$
Sym5	1.47×10 $- 12$	Bior3.1	4.61×10 $- 14$
Sym6	7.24×10 $- 12$	Bior3.3	3.55×10 $- 14$
Sym7	5.11×10^-12	Bior3.5	3.55×10 $- 14$
Sym8	2.51×10 $- 12$	Bior3.7	3.37×10 $- 14$
Bior1.3	3.90×10 $- 14$	Bior3.9	3.90×10 $- 14$
Bior1.5	3.73×10 $- 14$	Bior4.4	49.5×10 $- 14$
Bior2.2	4.08×10 $- 14$	Bior5.5	15.3×10 $- 12$

表2 表面分解尺度能量占比 (%)

Tab.2 Energy proportion of the surface decomposition layer

分解尺度	Edetails能量占比	Ea能量占比
1	0.0026	99.909
2	0.0033
3	0.0042
4	0.0058
5	0.0071
6	0.0082
7	0.0122
8	0.0474

图2 原始表面、基准面与粗糙度表面

Fig.2 Original surface， reference surface and roughness surface

表3 三维粗糙度参数测量结果

Tab.3 Measurement results of three-dimensional roughness parameters

测试区域	算术平均高度Sa/μm	均方根高度Sq/μm
G1	0.2407	0.3053
G2	0.2290	0.2917
G3	0.3132	0.4052
G4	0.2055	0.2711

图3 各区域二维表面图像

Fig.3 Two-dimensional surface images of each region

图4 不同分形维数的表面形貌

Fig.4 Surface topography with different fractal dimensions

图5 涡旋盘表面分形维数拟合图

Fig.5 Fractal dimension fitting graph of the scroll surface

表4 各测试区域分形维数Ds

Tab.4 The fractal dimensions Ds of each test area

	G1	G2	G3	G4
D_s	2.5346	2.5471	2.5018	2.5229

图6 Sa、Sq与Ds的对比

Fig.6 Comparison of Sa、Sq and Ds

表5 Ds、Sa、Sq的方差及标准差

Tab.5 The variances and standard deviations of Ds， Sa， and Sq

	D_s	Sa	Sq
方差	0.000 29	0.006 47	0.010 66
标准差	0.016 68	0.080 43	0.103 23

图7 奇异性标度指数 α 与权重因子q的关系曲线

Fig.7 The relationship curve between singularity scaling index αand weight factor q

图8 涡旋盘表面多重分形谱

Fig.8 Multifractal spectrum of the scroll surface

表6 涡旋盘表面多重分形谱参数值

Tab.6 The multifractal spectrum parameter values on the surface of the scroll

区域	α_min	α_max	∆α	f（α_min）	f（α_max）	∆f
G1	1.932	2.395	0.462	1.521	$-$ 0.329	1.850
G2	1.914	2.364	0.450	1.304	$-$ 0.492	1.796
G3	1.900	2.704	0.804	1.136	$-$ 0.824	1.960
G4	1.894	2.465	0.571	1.211	$-$ 0.690	1.901

表6 涡旋盘表面多重分形谱参数值

Tab.6 The multifractal spectrum parameter values on the surface of the scroll

区域	α_min	α_max	∆α	f（α_min）	f（α_max）	∆f
G1	1.932	2.395	0.462	1.521	$-$ 0.329	1.850
G2	1.914	2.364	0.450	1.304	$-$ 0.492	1.796
G3	1.900	2.704	0.804	1.136	$-$ 0.824	1.960
G4	1.894	2.465	0.571	1.211	$-$ 0.690	1.901

图9 参数对比及异常特征局部形貌

Fig.9 Parameter comparison and local topography of abnormal features

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