0 引言

求解机构位置正解是并联机构研究中最重要、最基础的问题之一，它直接影响机构的构型优化选择、误差分析、尺寸综合、运动控制等，机构位置正解求解一般包含两方面内容：①机构输入-输出位置方程的建立；②位置方程的数值或代数求解。目前，对如何建立含变量较少的机构位置方程的研究甚少，但这又是高效、方便求解机构位置正解的根本所在；而应用数学方法(数值法、代数法)对位置方程进行求解(称“数学降维方法”)的研究较多。

建立机构的输入-输出位置方程牵涉到运动学求解原理，其方法主要有杆副法[1-2]、矢量回路法[3-5]。目前，大多数学者应用杆副法、矢量回路法建立机构输入-输出位置方程，再应用数值法或代数法求之。数值法是将机构的位置方程组通过迭代搜索法(混沌迭代[6]、逐次逼近搜索[7]等)、连续法[8-9]等直接求解，优点是可以求出实数解，缺点是迭代容易发散且计算量大；代数法主要是通过消元法[10-15]、Groebner-Sylvester法[16]等消去机构位置方程组中的未知数，并最终表示为一个一元高次方程[17-23]，优点是不需初值，可以求出位置正解的所有可能解，缺点是数学推导、消元过程复杂，且易产生增根。不难发现，上述基于杆副法、矢量回路法的位置方程的建立，均未考虑机构拓扑结构特性的影响，因此，不仅需要建立的回路位置约束方程数目多，而且方程所含的变量数目也多，特别是采用代数法时，其数学推导、消元过程十分复杂。沈惠平等[24]的研究表明：位置正解分析时，机构的拓扑分析对机构位置方程求解的难易有重要影响。

本文提出了一种基于单开链(single-open-chain， SOC)有序求解的机构正向运动学建模原理，其基本思想包含三个步骤：①将机构的拓扑结构分解为系列基本运动链(basic kinematic chain， BKC)和有序SOC，并计算出每个BKC的耦合度κ；②按此顺序建立方程数目最少且含虚拟变量最少的机构位置方程；③应用常规的数学方法方便地求解位置方程。为此，给出相应的数值解和封闭解求解的两种方法，并分别给出两个实例，予以详细说明与验证。该原理和方法充分考虑了机构的拓扑特性——单开链单元建模的有序性，使机构位置方程数目、变量数目(仅为耦合度κ值)和计算量显著减少，不同于已有的位置分析的杆副法、矢量回路法的“数学降维方法”，故称之为“拓扑降维方法”。

1 正向运动学建模原理

1.1 基于有序单开链的机构拓扑分解

根据基于单开链的机构组成原理[25-26]，任一并联机构可分解为一系列约束度为正、零、负三种有序的SOC，并得到各自单开链的约束度值Δ；再根据约束度总和为零(∑Δ=0)的原则，将一系列单开链单元划分为若干个自由度为零、耦合度为κi、不可再分的最小运动链，即基本运动链BKCi(basic kinematic chain)，耦合度为κi反映BKCi自身的拓扑特性及其运动学和动力学求解的复杂性，这一分解过程可记为

(1)

其中，PKMκ[F, v]指自由度为F、基本回路为v、耦合度为κ的并联机构(parallel kinematic mechanism,PKM)；Jin(F)为F个输入副(joint of input)；pκ表示耦合度为κ的BKC数目；BKCκ(Δ1,Δ2,…,Δj)表示由约束度分别为(Δ1,Δ2,…,Δj)的单开链SOC1,SOC2,…,SOCj组成的、耦合度为κ的BKC；BL代表机架(base link)。

1.2 约束度与耦合度的定义和计算

第j个单开链的约束度定义为

(2)

式中，mj为第j个SOC的运动副数；fj为第i个运动副的自由度(不含局部自由度)；Ij为第j个SOC的驱动副数；ξLj为第j个回路的独立位移方程数。

约束度Δj反映了单开链对BKC的约束特性。进一步，一组有序的v个SOC可构成一个独立回路数为v的基本运动链；就一个BKC而言，须满足

因此，耦合度定义为

(3)

其中，min(*)指BKC分解为v个SOC(Δj)可有多种分解方案，取∑|Δj|最小的分解方案。耦合度κ揭示了机构基本回路变量之间的关联、依赖程度。κ值越大，机构的运动学、动力学分析越复杂[27]。

1.3 基于有序单开链的位置正解求解的建模

由上可知，任何一个机构可分解为若干个BKC，而每个BKC又由约束度为正、零、负的有序单开链组成，因此，机构位置正解的求解最终可转化为各单开链位置的求解，而各单开链的建模方法如下：①约束度为正值的会使机构自由度增加为确定其运动，需在上设定个虚拟变量；②约束度为零的不影响机构自由度，其运动具有确定性，即其位置正解能独立求解；③约束度为负值的会使机构自由度减少即对机构施加了个约束(方程)。

因中的虚拟变量数目恰等于约束方程数目所以易解出κ个变量的真实值。进一步，满足约束方程的κ个虚拟变量的值即这些运动变量的真实值，将之代入上述求解过程，其余变量即可方便地求得。

2 数值法和封闭法及其应用

本节以两个复杂平面机构、两个空间并联机构为例，分别说明数值法和封闭法的求解方法和步骤。

2.1 平面Ⅳ级机构的位置正解

2.1.1 机构及其拓扑分解

(1)机构概述。图1所示为两回路的平面Ⅳ级机构，其中，A,B,…,G分别表示转动副RA,RB,…,RG，且各杆长分别为l1,l2,…,l10。建立oxy固定坐标系，x轴与直线AF重合，y轴过原点o点(与F点重合)且垂直于x轴。

(2)拓扑分解及其耦合度计算。此机构的拓扑结构可分解为两个单开链回路，且有两种方案：方案①，第1回路为A-B-C-E-F，第2回路为D-G；方案②，第1回路为A-B-D-G-F，第2回路为C-E。对于方案①，由式(2)知，两个回路约束度分别为

由式(3)，有

按Assur理论，该机构属于Ⅳ级复杂机构，其位置正解非常复杂。但根据本文的求解原理，该机构仅包含一个BKC1[1,-1]，且耦合度仅为1,这表明求解该机构的位置正解仅需建立一个仅含一个虚拟变量的一元高次位置方程，然后用一维搜索法容易解出。

同理，如果按方案②进行机构分解，得到的两个单开链的约束度值相同，耦合度同为1，因此，位置正解求解的难易程度是一样的。现按方案①的机构分解路线进行位置正解求解。

2.1.2 正向位置方程的建立

(1)在Δ1>0的第1回路上，求各点的位置。如图1所示，RA、RB点的坐标已知。取矢量RBRC与x轴正向的夹角α*为虚拟变量，θ为RBRA与x轴正向的夹角，则RC、RD点的坐标分别为(l10+l1cos θ+l2cos α*,l1sin θ+l2sin α*),(l10+l4cos(α*+β)+l1cos θ,l1sin θ+l4sin(α*+β))。

①由RF、RC点位置求解RE点的坐标：

M=±1

②由RF、RE点位置求解RG点的坐标：

当然，也可取矢量RERF与x轴正向的夹角为虚拟变量，此时，须由RB、RE两点的坐标求RC点的坐标，其计算量相同。

(2)在Δ2>0的第2回路上建立约束方程。由RDRG杆长为l6，建立一个位置约束方程：

(4)

2.1.3 数值法求解

(1)机构参数。图1机构中，取l1=15 mm，l2=90 mm，l3=140 mm，l4=80 mm，l5=180 mm，l6=140 mm，l7=120 mm，l8=100 mm，l9=100 mm，l10=160 mm。

(2)具体计算。用MATLAB编程，在[0,2π]内取值，不断给α*赋值，可使式(4)成立，从而求得真实α；再将α 的真实值代回式(4)，即可得到各运动副坐标。由此可见数值解方法比较简单。例如：

①当θ=120°时，对应于装配模式M=±1，对应的f(α*)的函数曲线有两条，如图2a、图2b所示，它们与f(α*)=0的交点数为6，即有6个真实的α。为提高计算效率，可估算每个实根αi的大致区间Pi，从而进一步缩小α*的搜索步长。经计算：α1=1.475 9°，α2=117.165 3°，α3=227.359 4°，α4=253.307 5°，α5=81.042 0°，α6=96.893 5°。

②当θ=180°时，同理，式(4)的实根分别为：α1=110.151 9°，α2=99.898 2°，α3=69.076 2°，α4=348.385 8°，α5=258.758 1°，α6=221.764 9°。

2.1.4 封闭法求解

(1)用Mathematica进行符号处理。Mathematica是一款集符号处理与数值计算功能于一体的分析软件，求解效率高。为方便理解，给出该例基于Mathematica的符号处理求解步骤：

①将式(4)展开，并合并同类项，有

(5)

A1=D1+E1/F1

②令式(5)中f(α*)=0，并将等号两边平方，整理得

(6)

③令u=tan(α*/2)，利用Mathematica可方便地对式(6)进行整理，得

(7)

因F1(1+u2)3≠0，则有

(8)

其中，T0～T6为常系数，具体数值见文献[28]。

这样，从式(4)中的f(α*)=0导出了式(8)中的f(u)=0；此时，只要用非线性高次方程的一般求解方法(如迭代法、二分法等)，或直接应用Mathematica软件，即可求出式(8)的全部实数解，从而求出机构的位置正解。

(2)具体计算。机构参数同前，由式(8)有

①当输入角θ=120°时，有

f(u)=1.322 8×1012-1.046 17×1014 u+
1.516 73×1014 u2+5.652 96×1013 u3-
1.240 33×1014 u4-1.900 79×1011 u5+2.122 27×1013 u6

求得实根u和对应的α*，见表1中第Ⅰ组。

②当输入角θ=180°时，有

f(u)=-7.445 33×1012-5.989 04×1013 u+
1.344 46×1014 u2+ 2.181 29×1013 u3-
1.163 91×1014 u4 +1.233 71×1013 u5+1.955 1×1013u6

求得实根u和对应的α*，见表1中第Ⅱ组。可见，封闭法与数值法求得的解的误差极小，从而证明了位置正解求解的正确性。

2.2 平面并联机构3-RRR的位置正解

2.2.1 机构及其拓扑分解

(1)机构概述。图3所示为典型的三自由度平面并联机构3-RRR，当静平台0上的转动副R11、R21、R31为驱动副时，动平台1具有两平移一转动的输出。

(2)拓扑分解及其耦合度计算。因该机构为对称结构，故其拓扑结构分解为两个回路的方式相同，例如，第1、2回路分别可取SOC1{R11-R12-R13-R33-R32-R31}、SOC2{-R21-R22-R23}。由式(2)，其约束度分别为

由式(3)，有

即此机构仅包含一个BKC1[1,-1]，其耦合度κ=1，因此，只需建立一个含1个虚拟变量的位置方程，即可求出位置正解。取构件5与x轴正方向的夹角α*为虚拟值(也可取构件6与x轴正方向的夹角为虚拟值)，如图3所示。

2.2.2 正向位置方程的建立

已知：驱动副R11、R21、R31的输入角分别为θ1、θ2、θ3，求动平台1重心o′的位置(x,y)及姿态角γ(γ为R13R33与x轴正向的夹角)。

设动平台1为等边三角形，三边R13R33、 R23R33、 R13R23边长为l3。在静平台0上建立固定坐标系oxy，x轴通过R11R31，y轴过o点(与R11点重合)且垂直于x轴，于是，R31、R21的坐标分别为(l8,0) 、(l9,l10)。在动平台上建立o′x′y′动坐标系，o′在动平台的重心，x′轴平行于R13R33，y′轴过R23；设第一、二、三条支链的杆长分别为：R11R12=l1，R12R13=l2；R23R22=l6，R21R22=l7；R32R31=l5，R33R32=l4。

(1)在Δ1>0的第1回路上求各运动副坐标：

①当输入角θ1、θ2、θ3已知时，R12、R22、R32的坐标可方便求得，则R13的坐标为(l1cos θ1+l2cos α*,l1sin θ1+l2sin α*)。

②由R13、R32点位置求出R33点的坐标：

(9)

当运动副三点R13、R33、R32按顺时针排列时，M=1；按逆时针排列时，M=-1。

③由R13、R33点位置求出R32点的坐标：

(10)

(2) 在Δ1<0的第2回路上建立约束方程。由R22R23杆长为l6得

(11)

2.2.3 数值法求解

(1)机构参数。在图3所示机构中，取l1=l5= l7=400 mm，l3=300 mm， l8=600 mm，l2=l4=l6=300 mm，l9=1 054 mm，l10=1 045 mm。

(2)具体计算同2.1.3节。

① 取输入角θ1=80°，θ2=210°，θ3=70°，由式(9)～式(11)进行迭代计算，式(4)中f(α*)=0的实根分别为：α1=37.743 1°，α2=45.627 1°。

②取输入角θ1=60°，θ2=220°，θ3=70°，同理，满足式(4)中f(α*)=0的实根分别为：α1=53.046 2°，α2=89.732 1°。

求得满足式(11)的α真实值后，即可求得动平台1的位姿：

(x,y)T=

(12)

姿态角γ即可由向量R13R33的位置求出，略。

2.2.4 封闭法求解

(1)用Mathematica进行符号处理。令u=tan(α*/2)，用Mathematica对式(11)进行展开，整理得

(13)

其中，A0～A8的值见文献[28]。可见，f(u) 为一元八次多项式，由其实根便可求出虚拟变量α*的真实值。

(2)具体计算。机构参数同2.2.3节所述，由式(13)，有：

①当输入角θ1=80°，θ2=210°，θ3=70°时

f(u)=2.200 76×1020 -1.351 08×1021 u+
4.556 11×1021u2-1.617 55×1022 u3 +
4.355 68×1022u4-8.742 67×1022 u5+
1.778 52×1023u6 - 2.844 21×1023u7+
2.154 89×1023u8

解得的实根为：u1= 0.341 794，u2=0.420 651，对应的α*分别为37.740 2°、45.628 2°，这与2.2.3节中用数值法求得的第①组数据中的α1、α2高度一致；分别代入式(12)，得动平台1的两组实数位姿，见表2中第Ⅰ组数据。

②当输入角θ1=60°，θ2=220°，θ3=70°时

f(u)=5.701 32×1019 -3.062 95×1020u+
1.300 31×1021u2-5.386 160×1021u3+
1.431 35×1022u4-3.977 230×1022u5+
1.119 57×1023u6 - 1.628 76×1023u7+
8.081 58×1022u8

解得的实根为：u1= 0.499 1，u2=0.995 3，对应的α*分别为53.047 6°、89.730 5°，这与2.2.3节中用数值法求得的第②组数据中的α1、α2高度一致；同理，可得动平台位置正解，见表2中第Ⅱ组数据。

进一步，可用反解验证。根据杆长条件R12R13=l2，R22R23=l6及R32R33=l4，分别建立3个约束方程：

(14)

(15)

(16)

由式(14)～ 式(16)得，该机构逆解为

(17)

i=1,2,3 A1=2yR13l1 B1=2xR13l1

A2=2yR23l7-2l10l7 B2=2xR23l7-2l9l7


A3=2yR33l5 B3=2xR23l5-2l8l5

取表2中第Ⅰ组中的1号数据代入式(17)，得该机构8组输入角，其中的一组为：θ1=79.959 1°，θ2=-150.009 4°，θ3= 69.893 4°，这与原始输入角的误差极小，证明了该机构位置正解的正确性。

2.3 空间并联机构的位置正解

2.3.1 机构及其拓扑分解

(1)机构描述。笔者提出一种改进型三平移机构，如图4所示。该机构由2条型支链、1条支链，以及静平台0、动平台1构成，其中，转动副R11与R21的轴线垂直，R31的轴线平行于R11(也可任意布置)。易知，该机构自由度为3，当取机架上R11、R21与R31为驱动副时，动平台1实现三平移输出。

(2)拓扑分解与耦合度计算。该机构拓扑结构可分解出以下两个回路单开链：SOC1{R11‖R12‖C13-C23‖R22‖R21}、SOC2{R31-S32-S33}。由式(2) 得，其约束度分别为

由式(3)，有

该机构仅包含一个BKC1[1,-1]，且其耦合度κ=1，因此，只需建立一个含1个虚拟变量的位置约束方程即可求解位置正解。

2.3.2 正向位置方程的建立

如图4所示，在静平台0上建立静坐标系OXYZ，X轴过R21副轴线，Y轴过R11副轴线，Z轴由右手坐标系法则确定；动坐标系o′x′y′z′固连于动平台1，x′轴过C23副轴线，y′轴过C13副轴线，z′轴由右手坐标系法则确定。动静平台均为正方形，边长分别为n、m。其中，R11R12=l1，R12C13=l2；R21R22=l3，R22C23=l4；R31S32=l5，S32S33=l6。构件1、构件5与X轴正向的夹角分别为θ1、θ5，构件3、构件4与Y轴正向的夹角分别为θ3、θ4。设p、q分别为圆柱副C13、C23的移动参数。

(1)求Δ1>0的第1回路各运动副坐标。图4中，点R11、R21、R31的坐标分别为(0，m/2,0)、(m/2，0 ，0)、(m，m/2，0)；点R12、R22、S32的坐标分别为(l1cos θ1，m/2，l1sin θ1)、(m/2，l3cos θ3，l3sin θ3)、(m+l5cos θ5，m/2，l5sin θ5)。设构件2与X轴的正向夹角为α*为虚拟值，则有

(18)

(19)

联立式(18)、式(19)，可得

(20)

设动坐标系相对于静坐标系的坐标变换矩阵为R，可得S33点在静坐标系下的坐标：

OS33=RO′S33=(n+XO′，n/2+YO′，ZO′，1)T

(2)在Δ2<0的第2回路上建立约束方程。由S32S33=l6，有

(21)

2.3.3 数值法求解

(1)机构参数 。图4机构中，取l1=80 mm，l2=40 mm，l3=80 mm，l4=40 mm，l5=80 mm，l6=40 mm，m=80 mm，n=40 mm。

(2)具体计算同2.1.3节。

①取输入角θ1=130°，θ2=120°，θ3=50°，由式(18)式(21)迭代计算，式(21)中f(α*)= 0的实根分别为：α1=304.849 39°，α2=54.498 72°。

②取输入角θ1=120°，θ2=100°，θ3=80°，同理，f (α*)=0的实根分别为：α1= 298.872 14°，α2= 68.336 69°。 求出α真实值后，即可由式(20)求出动平台1的位置。

2.3.4 封闭法求解

(1)用Mathematica进行符号处理。令u=tan(a*/2)，用Mathematica对式(21)进行展开，整理得

(22)

其中，B0～B8为常数项，其值见文献[28]。可见，f(u)同样为一元八次多项式，由其实根可求出虚拟变量α*的真实值。

(2)具体计算。机构的参数同2.3.3节，由式(22)得：

①当θ1=130°，θ3=120°，θ5=50°时

f(u)=-6.066 91×108-6.083 49×107u+
4.214 29×108u2-3.280 94×107u3+
3.875 08×109u4+1.165 26×109u5+
7.053 59×109u6+1.137 24×109u7+
1.469 24×1010u8

解得的实根为：u1=-0.522 238，u2=0.515 122；对应的α=-55.150 5°，α*=54.498 9°,这与2.3.3节中用数值法求得的第①组数据中的α高度一致。进一步，再由式(20)求出机构位置正解，见表3中第Ⅰ组数据。

②当θ1=120°，θ3=100°，θ5=80°时

f(u)=-2.834 95×108-7.065 26×107u-
6.420 46×107u2-2.119 57×108u3+
1.332 35×109u4-2.119 57×108u5-
1.698 71×109u6 -7.065 26×107u7+
7.673 98×109u8

解得的实根为：u1=-0.590 55，u2=0.678 793；对应的α*=-61.127 9°，α*=68.336 8°,这与2.3.3节中用数值法求得的第②组数据中的α高度一致；同理，由式(20)求出该机构的位置，见表3中第Ⅱ组数据。进一步，还可以用反解验证：已知动平台1上O′的位置(XO′,YO′,ZO′)，求3个驱动副的输入角θ1、θ3、θ5。

由动平台O′点的位置，已求得C13、C23、S33三个运动副的坐标分别为 (XO′,YO′+m/2,ZO′)、(XO′+m/2,YO′,ZO′)、(XO′+n,YO′+n/2,ZO′)。根据R12C13=l2，R22C23=l4，S32S33=l6，建立约束方程：

(23)

(24)

(25)

由式(23) ～式 (25)得

(26)

i=1,2,3 A1=2zC13l1 B1=2xC13l1

A2=2zC23l3 B2=2yC23l3

A3=2zS33l5 B3=2(xS33-m)l5

取表3中第Ⅰ组2号数据代入式(26)，得该机构8组输入角，其中的一组为：θ1=130.001 2°，θ2=120.000 4°，θ3= 50.000 3°，这与原始输入角一致，即证明了该机构位置求解的正确性。

2.4 并联机构的位置正解

2.4.1 机构及其拓扑分解

(1)机构概述。具有部分运动解耦的新型三平移一转动并联机构(RPa3R)2R-2RSS如图5所示[29]，其静平台0与动平台1用一条混合支链 (RPa3R)2R和两条相同的无约束支链 RSS连接，其中，混合支链的1个转动副 (R11) 连接由4个球副 (S1、S2、S3、S4) 组成的平行四边形的一短边S1S2，记作RPa；另一短边S3S4和3个平行转动副 (R41‖R42‖R43) 连接，且S3S4的连线和转动副R43轴线垂直，从而构成含一个回路的子并联机构，记作RPa3R；同时，短边S3S4再串联两个平行的转动副 (R12‖R13)，记作2R，整个混合支链记作 (RPa3R)2R。静平台0上相邻的4个转动副相互垂直，即R11‖R31，R21‖R41，而R31 R21。

(2)拓扑分解及耦合度κ计算。此机构拓扑结构可分解为3个独立回路，即SOC1:R11-Pa- R41‖R42‖R43，SOC2:R12‖R13-S23-S22-R21，SOC3:

S33-S32-R31。由文献[29]知，这3个回路的独立位移方程数均为6，则由式(2)，第1回路的约束度

注：由4个球副组成的平行四边形(Pa)等效于2个移动副和2个转动副的串联支链。因此，第1回路(即子并联机构RPa3R)本身就是第一个其耦合度为零，其位置正解易求出解析解，而第2、3回路的约束度由式(2)求得：

由式(3)，有

这样，由第2、3回路构成第2个其耦合度为1，因此，易建立一个仅含1个虚拟变量的位置方程，即可求得其出位置正解。

2.4.2 正向位置方程的建立

如图5所示，设机构静平台0为正方形，与静平台0相连接的4个转动副R11、R21、R31、R41分布在各边的中点。在静平台0上建立oxyz坐标系，o为静平台0的重心，x轴、y轴分别垂直、平行于R11的轴线；在等腰直角三角形的动平台1上建立puvw坐标系，p点与转动副R13重合，u轴、v轴分别与S33R13、S23R13重合；z轴、w轴则由右手笛卡儿坐标系法则确定。为方便理解，将该机构俯视展开，如图6所示。

该机构的结构参数如下：正方形静平台0的边长为2l1，动平台1直角边长为l2；R11a=R21S22=R31S32=R41R42=l3(l3≠l1)；ab=S22S23=S32S33=R42R43=l4；其余杆长分别为：S3b=S3R43=l5，R12c=l6，R12b=R13c=l7。设R11a、R31S32与x轴正向的夹角为θ1、θ3；R21S22、R41R42与y轴正向的夹角为θ2、θ4；u(v)轴与x(y)轴正向的转角为动平台姿态角α。

(1)BKC1的位置求解。易知，点a、球副S22、S32及转动副R42的坐标分别为(l1+l3cos θ1,0,l3sin θ1)、(0,-l1+l3cos θ2,l3sin θ2)、(-l1+l3cos θ3,0,l3sin θ3)、(0,l1+l3cos θ4)。由ab=R42R43=l4，有

(27)

由机构方位特征(position and characteristic,POC)集分析可知[29]：b点的输出为两平移，故在机构运动过程中，构件S4S3R43只能在yoz平面内运动，且始终与y轴重合，因此，xb=0；即转动副R43的坐标为(0,yb+2l5,zb)。将R43的坐标值代入式(27)，并整理得

Ayb+Bzb=C

(28)

A=2(yR42-2l5) B=2(zR42-za)

若A=0且B=0，则而l3≠l1，即xa≠0，则A、B不同时为零。

①当A=0时，有

(29)

②当A≠0时，有

(30)

D=A2+B2 E=2(BC+zaA2)

(2)BKC2的位置求解。

①在Δ2>0的回路上求p点坐标和姿态角α。设R12R13与x轴正向的夹角δ*为虚拟角(图6)，则转动副R13的坐标为(l6cos δ*,yb+ l6sinδ*,zb+2l7)，即动平台p点的坐标(x,y,z)为

(31)

注：右上角标有*者均与虚拟角δ*有关，后同

在动坐标系puvw下，pS23、pS33的坐标分别为(0,-l2,0)、(-l2,0,0)；动坐标系相对于静坐标系的旋转矩阵、位置矢量分别则

(32)

同理，可得S33的绝对坐标为

(33)

根据S22S23=l4，建立约束方程，并整理得

A1sin α+B1cos α+C1=0

(34)

解得

(35)

B1≠C1 A1=2l2x* B1=2l2(yS22-y*)

②在Δ3<0的第3回路上建立约束方程。由S32S33=l4，建立位置约束方程：

(36)

2.4.3 数值法求解

(1)机构参数。参考ABB机器人I4R的尺寸参数，两个平行四边形和输入杆的尺寸参数与之相同，即l3=350 mm，l4=800 mm；其他参数分别为l1=300 mm，l2=150 mm，l5=100 mm，l6=200 mm，l7=25 mm。

(2)具体计算同2.1.3节。

①4个输入角θ1、θ2、θ3、θ4分别取62.185 4°、128.454 6°、134.557 2°、47.626 9°，由式(27)～式(36)迭代计算，式(36)中方程f(δ*)=0的实根分别为：δ1=194.762 95°，δ2=208.455 12°。

②4个输入角θ1、θ2、θ3、θ4分别取50°、140°、140°、50°，同理，方程f(δ*)=0的实根分别为：δ1=188.505 12°，δ2=259.284°。

求得δ 真实值后，即可由式(31)、式(35)求出动平台位姿。

2.4.4 封闭法求解

(1)用Mathematica进行符号处理。用Mathematica对式(36)进行展开，整理得

(37)

其中，G0～G6为常系数，具体数值见文献[28]。求出式(37)的实根δ，再由式(31)、式(35)，即可得到机构动平台p点位置(x,y,z )和姿态角α。

(2)具体计算。机构参数同2.4.3节，考虑该机构实际工作构型，取zb>0，由式(37)有

①4个输入角θ1、θ2、θ3、θ4分别取62.185 4°、128.454 6°、134.557 2°、47.626 9°，有

f(u)=(1.889 1-1.407 0u+1.071 7u2-
1.110 2u3+0.913 5u4+0.524 0u5+
4.980 2u6×10-2)×1016

解得的实根为：u1=-7.719 1,u2=-3.944 0，对应的δ*分别为-165.237 03°、-151.545 00°，再代入式(31)、式(35)，解得的位置正解见表4中Ⅰ组数据。

②4个输入角θ1、θ2、θ3、θ4分别取50°、140°、140°、50°，有

f(u)=(5.016 65-5.927 57u+4.020 35u2-
4.787 76u3+3.571 50u4-1.007 62u5-
0.096 78u6)×1016

求得的实根为：u1=-13.448 6，u2=1.206 98，对应的δ*分别为-171.494 95°、100.715 54°，再代入式(31)、式(35)，解得的位置正解见表4中第Ⅱ组数据。

用反解验证：由4个从动臂ab、S22S23、S32S33、R42R43的杆长条件，建立4个约束方程：

(38)

(39)

(40)

(41)

由式(38)～ 式(41)，得该机构的逆解：

(42)

i=1,2,3,4 z1=z4=zb z2=z3=z

将表4第Ⅰ组的2组正解代入式(42)，得该机构的一组输入角：θ1=62.185°，θ2=128.454 3°，θ3=134.556°，θ4=47.627°，这与原始输入角的误差很小，表明该机构位置正解求解正确。图7a、图7b分别为该装配构型的两个不同视图。

至此，笔者已用数值法和封闭法分别求解了包括上述4个机构在内的数十个并联机构的位置正解，并分别加以相应的论证及其正、逆解验证，证明了该方法的有效性、正确性，且发现：相比用于多回路的、或含三副构件的平面机构，该方法用于空间并联机构，能更方便、更容易求得其位置正解，这是因为平面机构中含大量的已知两点求第三点的表达式，导致位置方程复杂；本文采用的直角坐标方法比基于距离的方法[30]更适合于一般空间机构的位置正解求解[31]。

3 结论

本文提出的基于单开链有序求解的机构正向运动学建模原理，以转动副的转角(或移动副的长度)作为虚拟变量，能建立方程数目和变量数目为最少(为耦合度κ值)的机构位置方程；同时，给出了具体的数值解求解和封闭解求解两种方法，其中，数值法较简单，特别当κ=1时，用一维搜索法很易求得数值解；而封闭解求解方法包含两大步骤：首先用Mathematica进行符号处理，易从含变量数最低的机构位置方程导出一个高次的非线性位置正解封闭方程；然后用已有的常规方法求解一元高次方程。

该原理的步骤如下：①从机构拓扑分解入手，将机构分解出约束度为正、零、负的三种单开链；②建立方程数目和变量数目最少(为κ)的机构位置方程；③用常规的数学方法解之。原理简单，过程清晰，计算量大大降低。建立机构位置方程后，无论是数值法还是封闭法，都无需复杂的人工消元技巧(就封闭法而言，借助Mathematica软件的符号处理功能，易导出多项式封闭方程)，并求出数值解，求解效率高。

本文提出的基于单开链有序求解的机构正向运动学建模原理及其数值法和封闭法，完善了机构位置正解的运动学建模理论和方法，这是本文的贡献所在。建模原理和两种求解方法完全不同于位置分析杆副法、矢量回路法的数学降维方法，是一种大幅度拓扑降维和一般数学降维方法相结合的机构位置正解求解有效方法，适用于求解任意复杂平面、空间并联机构的位置正解。

参考文献：

[1] ROONEY G T. Constraint Approach to Displacement Analysis of Planer Linkages[J]. Mechanism, 1972(9): 60-63.

[2] JALN J G D, SERNA M A, AVILS R, et al. Computer Method for Kinematic Analysis of Lower-pair Mechanisms[J]. Mechanism & Machine Theory, 1981, 16(5): 543-566.

[3] PENNOCK G R, HASAN A. A Polynomial Equation for a Coupler Curve of the Double Butterfly Linkage[J]. Journal of Mechanical Design, 2002, 124 (1): 39-46.

[4] KINZEL G L, CHANG C. The Analysis of Planar Linkage Using a Modular Approach[J]. Mechanism and Machine Theory,1984, 19(1): 165-172.

[5] KONG X, GOSSELIN C M. Generation and Forward Displacement Analysis of RPR-PR-RPR Analytic Planar Parallel Manipulators[J].Journal of Mechanical Design,2001, 8(18): 2195-304.

[6] 罗佑新，黎大志. 求一般6-SPS 并联机器人机构的全部置正解的混沌迭代法[J].工程设计学报, 2003, 10(2): 70-74.

LUO Youxin, LI Dazhi. Finding allSolutions to Forward Displacement Analysis Problem of 6-SPS Parallel Robot Mechanism with Chaos-iteration Method[J]. Journal of Engineering Design, 2003, 10(2): 70-74.

[7] 曲易远，黄真. 空间六自由度多回路机构位置的三维搜索方法[J].机器人, 1989, 3(5): 25-29.

QU Yiyuan, HUANG Zhen. Three-dinensional Optimization Algorithm of Six-DOF Multi-loop Spatial Mechanism [J]. Robot, 1989, 3(5): 25-29.

[8] 刘安心，杨廷力. 机械系统运动学设计[M]. 北京:中国石化出版社, 1999.

LIU Anxin, YANG Tingli. Kinematic Design of Mechanical System[M]. Beijing:China Petrochemical Press, 1999.

[9] 刘安心，杨廷力. 求一般6-SPS并联机器人机构的全部位置正解[J].机械科学与技术, 1996, 15(4): 543-546.

LIU Anxin, YANG Tingli. Finding All Solutions to Forward Displacement Analysis Problem of 6-SPS Parallel Robot Mechanism[J].Mechanical Science and Technology, 1996,15(4): 543-546.

[10] 黄昔光，廖启征，魏世民，等. 一般6-6型平台并联机构位置正解代数消元法[J]. 机械工程学报, 2009, 45(1): 56-61.

HUANG Xiguang, LIAO Qizheng, WEI Shimin, et al. Forward Kinematics Analysis of the General 6-6 Platform Parallel Mechanism Based on Algebraic Elimination[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009, 45(1):56-61.

[11] 韩林，文福安，梁崇高. 6-5平台型并联机构的位置正解[J]. 北京邮电大学学报, 1998, 21(2): 33-37.

HAN Lin, WEN Fuan, LIANG Chonggao. Forward Displacement Analysis of the 6-5 Stewart Platform[J]. Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications, 1998, 21(2):33-37.

[12] 苏海军，廖启征，梁崇高. 一种5-5型台体并联机器人机构的位置正解[J]. 北京邮电大学学报, 1997, 20(3): 1-8.

SU Haijun, LIAO Qizheng, LIANG Chonggao. Forward Positional Analysis for a Kind of 5-5 Platform In-parallel Robotic Mechanism[J]. Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications, 1997, 20(3): 1-8.

[13] 张英，廖启征，魏世民. 一般6-4台体型并联机构位置正解分析[J]. 机械工程学报，2012，48(9)：26-32.

ZHANG Ying，LIAO Qizheng，WEI Shimin. Forward Displacement Analysis of a General 6-4 In-parallel Platform[J].Journal of Mechanical Engineering，2012，48(9)：26-32.

[14] LIAO Qizheng，SENEVIRATNE L D，EARLES S W E. Forward Positional Analysis for the General 4-6 In-parallel Platform[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science,1995,209(13)：55-67.

[15] 梁崇高，荣辉. 一种Stewart平台型机械手位移正解[J].机械工程学报，1991，27(2)：26-30.

LIANG Chonggao，RONG Hui. The Forward Displacement Solution to a Stewart Platform Type Manipulator[J]. Journal of Mechanical Engineering，1991，27(2)：26-30.

[16] 黄昔光，廖启征，魏世民，等. 基于Groebner-Sylvester法的一般6-6型台体并联机构位置正解[J]. 西安交通大学学报，2008，42(3)：300-303.

HUANG Xiguang，LIAO Qizheng，WEI Shimin，et al. Forward Kinematics of General 6-6 Stewart Mechanisms Based on Grobner-sylvester Approach [J]. Journal of Xian Jiaotong University，2008，42(3)：300-303.

[17] NANUA P，WALDRON K J. Direct Kinematic Solution of a Stewart Platform[C]∥Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation. Scottsdale,1989:431-437.

[18] HUSAIN M，WALDRON K J. Direct position Kinematics of the 3-1-1-1 Stewart Platforms[J]. Journal of Mechanical Design, 1994, 116(4): 1102-1107.

[19] WAMPLER C W. Forward Displacement Analysis of General Six-in-parallel SPS(Stewart) Platform Manipulator Using Soma Coordinates [J]. Mechanism and Machine Theory, 1996, 31(3): 311-337.

[20] HUSTY M L. Algorithm for Solving the Direct Kinematic of Stewart-gough-type Platforms[J]. Mechanism and Machine Theory, 1996, 31(4): 365-380.

[21] DASGUPTA B，MRUTHYUNJAYA T S. A Constructive Predictor-corrector Algorithm for the Direct Position Kinematics Problem for a General 6-6 Stewart Platform[J]. Mechanism and Machine Theory，1996，31(6)：799-811.

[22] SREENIVASAN S V，NANUA P. Solution of the Direct Position Kinematics Problem of the General Stewart Platform Using Advanced Polynomial Continuation[C]∥Proceedings of the 22nd Biennial Mechanisms Conference. New York, 1992:99-106.

[23] 陈宁新，白师贤. 6-6型Stewart并联机器人的正向位移分析[J]. 机械科学与技术，1994,13(3)：46-52.

CHEN Ningxin, BAI Shixian. Forward Position Analysis of the 6-6 Stewart Platform[J]. Mechanical Science and Technology, 1994,13(3): 46-52.

[24] 沈惠平，尹洪波，王振，等.基于拓扑结构分析的求解6-SPS并联机构位置正解的研究[J].机械工程学报，2013, 49 (21) :70-80.

SHEN Huiping, YIN Hongbo, WANG Zhen, et al. Research on Forward Position Solutions for 6-SPS Parallel Mechanisms Based on Topology Structure Analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(21) :70-80.

[25] 杨廷力，刘安心，罗玉峰,等.机器人机构拓扑结构设计[M]. 北京：科学出版社，2012.

YANG Tingli， LIU Anxin，LUO Yufeng，et al. Theory and Application of Robot Mechanism Topology[M]. Beijing：Science Press，2012.

[26] YANG Tingli，LIU Anxin，SHEN Huiping，et al. Topology Design of Robot Mechanisms[M]. Singapore:Springer Publishing Company，2018.

[27] 沈惠平，朱小蓉，尹洪波，等，并联机构的结构降耦原理与设计方法研究[J].机械工程学报, 2016, 52(8): 388-398.

SHEN Huiping, ZHU Xiaorong, YIN Hongbo, et al. Principle and Design Method for Structure Coupling -Reducing of Parallel Mechanisms[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2016, 52(8): 388-398.

[28] 许可.基于耦合度分析的并联机构运动学研究[D].常州：常州大学，2018.

XU Ke.Kinematics Study for Parellel Mechanisms Based on Coupling Degree[D].Changzhou：Changzhou University，2018.

[29] 沈惠平，许可，邓嘉鸣，等. 运动解耦和低耦合度选择顺应性装配机器手臂并联机构的设计及其运动分析[J]. 中国机械工程，2018，29(8)：883-892.

SHEN Huiping, XU Ke, DENG Jiaming, et al. Design and Kinematics of a SCARA Parallel Mechanism with Motion Decoupling and Low Coupling Degree[J]. China Mechanical Engineering, 2018, 29(8): 883-892.

[30] ROJAS N, THOMAS F.On Closed-form Solutions to the Position Analysis of Baranov Trusses[J].Mechanism and Machine Theory, 2012, 50: 179-196.

[31] 沈惠平，赵迎春，许可，等. 一种可重构、部分运动解耦的空间n维平移1维转动并联机构的拓扑及其运动学设计[J].中国机械工程, 2019, 30(4): 413-422.

SHEN Huiping,ZHAO Yingchun,XU Ke,et al. Topology and Kinematics Design of Spatially nT1R-type Reconfigurable and Partial Motion Decoupling Parallel Mechanism[J].China Mechanical Engineering, 2019, 30(4): 413-422.

A Novel Forward Position Kinematics Modelling Principle for Mechanisms Based on Ordered Solutions for SOC Units and Its Two Solving Methods

SHEN Huiping1 XU Ke2 YANG Tingli1

1.School of Mechanical Engineering,Changzhou University,Changzhou,Jiangsu,213016 2.Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design,Ministry of Education, Tianjin University,Tianjin,300350

Abstract: A novel modeling principle for solving the position forward solution of any mechanism was presented based on ordered SOC units. Firstly, the mechanisms were decomposed into a series of SOC units with different constraint degrees based on the principle of mechanism composition. Then, according to the principle that the sum of all constraint degrees was equal to zero, a series of SOC units were grouped into several basic kinematic chains(BKCi) with zero degree-of-freedom and the value of coupling degree was κi. Position equations for each BKCi with the minimum number of variables were obtained. In addition, two methods, i.e., numerical solution and closed-form solution were given. The numerical method was relatively simple, and the position equation of the mechanisms was solved directly by κ-dimensional search method. However, the closed-form solution, nonlinear position equations with higher order were firstly derived from the position equation of the mechanisms with κ virtual variables by using the symbolic processing of Mathematica, and then the higher order equation was solved by using the conventional method. Four examples were illustrated in details. The solving processes of the kinematics modeling principle that considers the ordered topological decomposition and SOC unit solution and its two methods are clear, and the solving method for forward solution of parallel mechanisms may be simplified and its calculation amounts are greatly reduced. The kinematics modelling principle is suitable for solving the position forward solution of any complex planar and spatial parallel mechanisms.

Key words: parallel mechanism； position forward solution； ordered single-open-chain(SOC)； coupling degree； closed-form solution

开放科学(资源服务)标识码(OSID)：

中图分类号：TH112

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2020.14.002

收稿日期：2019-06-18

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51975062，514755050，51375062)

(编辑 陈 勇)

作者简介：沈惠平，男，1965年生，教授、博士研究生导师。研究方向为并联机构、机器人机构学。发表论文260篇。E-mail：shp65@126.com。