0 引言
21世纪机器人技术的进步会对科学与技术的发展产生重要影响[1]。机器人在工业、农业、服务及医疗等各方面均有广泛的应用[2-7]。串联机器人是机器人的重要分支，作为其主要执行装置的机械臂为此类机器人技术的重要研究课题。
在串联机器人控制中，大部分的控制目的是使机器人能够根据计划的轨迹精确地执行任务。当机械臂执行目标任务时，由轨迹跟踪控制完成，与此同时，机械结构中存在的间隙和偏差通常会对系统产生影响。学者们对轨迹跟踪做了大量的研究。HEREDIA等[8]提出了一种基于高增益非线性奇异摄动方法(singular perturbation)的速度观测器并将其应用于机械臂PID控制中，观测器用来获得机械臂输出速度。该算法的不足是假设系统不确定性是已知的。针对这一问题，KUR等[9]提出了一种自适应PID控制策略，该控制器由反馈环节的自适应PID和前馈部分的输入学习策略组成。SU等[10]针对两关节机械臂，考虑了执行器约束的情况下机械臂的全局输出反馈整定问题，将PID控制与补偿措施相结合，通过Lyapunov方法证明了闭环系统的全局渐近稳定性。牛玉刚等[11]提出了一种基于神经网络的自适应鲁棒控制方法，利用RBF神经网络逼近系统非线性不确定性，通过滑模控制抑制网络逼近误差和外界干扰的影响，从而保证闭环系统的稳定性和跟踪误差的渐近收敛。PURWAR等[12]在考虑机械臂执行器约束前提下，提出了Chebyshev自适应神经元控制器来估计系统负载变化、未知非线性以及带有干扰的输入力矩等结构化或非结构化不确定性。覃艳明等[13]将计算力矩控制器和模糊补偿控制器相结合，计算力矩用来控制系统的标称部分，模糊补偿器用来控制系统的不确定部分，模糊补偿器的参数基于Lyapunov稳定性理论自适应调节，整个控制器保证了闭环系统的渐近稳定。众所周知，基于智能技术的不确定方法在理论上存在逼近误差，且估计速度有限。目前研究的许多控制方法都是基于计算机仿真验证的，在实际的机械臂系统上试验的比较少，且较多地局限在SCARA、Puma-560等平面机械臂上。
本文针对八自由度机械臂系统，充分考虑其在实际生产中，机械臂的加工和装配均存在一定程度的误差，导致轨迹规划时各个关节及末端执行器运动的实际位置和理论均产生偏差，致使机械臂偏离期望轨迹、作业失败等问题，提出了一种新的基于机械偏差补偿的方法来提高机械臂末端轨迹跟踪精度及速度，并用实验证明了所提控制方法的有效性。
1 问题描述和模型的建立
本文研究的机械臂有8个自由度，其中2个关节为移动副，6个关节为转动副。根据各部分的三维几何关系进行建模，按顺序对三维模型进行装配，可得到机械臂的装配体[13]，如图1所示。大臂俯仰转动和左右回转为复合动作，其他关节驱动是单独动作，液压系统为机械臂提供动力，通过全站仪测量系统控制机械臂到达指定位置。各执行动作由执行元件液压油缸来实现。
1.基座 2.大臂铰座 3.大臂液压缸 4.大臂外管 5.中间机构液压缸 6.大臂内管 7.内管连接件 8.旋转机构 9.小臂回转油缸 10.小臂
图1 八自由度机器人机械臂三维模型
Fig.1 3D model of 8-DOF robot manipulator
1.1 电液系统模型
为实现整个机械臂的轨迹跟踪控制，需对每个执行元件进行控制。
单个执行元件的液压伺服系统由油源、电液伺服阀、液压缸和负载组成，其中负载为机械臂。如图2所示[14]，将状态变量定义为
(1)
其中，xp为油缸活塞的位移，p1、p2分别为液压油缸有杆腔和无杆腔的压力，A1、A2为两腔截面积，所以状态方程可以写成如下形式：
(2)
其中，m为活塞和负载折算到活塞上的总质量，bh为黏性阻尼系数，kh为负载刚度，FL为负载力。忽略两腔的体积变化，C=V1/β≈V2/β[14]，V1、V2为两腔体积，β为体积弹性模量。r为两腔面积比，Kv为伺服阀流量信号增益。u为输入信号，此处指伺服阀的给定电流。
图2 液压伺服系统结构
Fig.2 Hydraulic servo system structure
1.2 机械臂的间隙和挠度
机械臂的装配间隙和自重引起的扰度会造成机械臂的实际位置尺寸和理论值有一定的误差，假设此误差为Δξ1，则每个油缸的实际长度
(3)
2 位置跟踪系统的控制器设计和稳定性分析
2.1 ESO扩张状态观测器
扩张状态观测器[15] (extended state observer, ESO)是自抗扰控制器[16] (active disturbance rejection controller, ADRC)的核心单元, 它不仅能得到不确定对象的状态，还能获得对象模型中的内扰和外扰的实时作用量，可以通过ESO 消除闭环系统的静差。闭环系统能够自动补偿对象模型的内扰和外扰，使其变为线性系统的标准形——积分器串联型，从而实现动态系统的动态反馈线性化。ESO除了可以作为ADRC的单元外，也可作为状态观测器来观测系统状态。
2.2 控制器设计
图1中，大臂液压缸的两条液压缸同步伸缩可实现大臂的俯仰运动，一伸一缩可实现大臂的摆动运动，大臂外管和大臂内管之间安装有伸缩油缸来实现大臂的伸缩运动。
为简化描述，以大臂实现俯仰及摆动的两条油缸和大臂伸缩油缸为研究对象，研究机器人机械臂的轨迹跟踪过程中，同时协调主臂以上三个油缸运动。其中，俯仰及摆动油缸液压伺服系统中油缸长度分别为la和lb，伸缩油缸液压伺服系统中的油缸长度为lc。
由于油缸的状态方程相似，故本文只设计了一个电液系统的控制器。定义ξ1=la，根据系统的扰动，定义误差向量
(4)
其中，ξ1d为Ga系统中液压缸的计算长度，它是根据全站仪测量系统测量机械臂终端位姿，并可以通过机械臂运动学的逆运算[13]得到的，ξ2d是ξ1d对应的导数项，ξ3d为根据式(2)得出的虚拟控制输入。根据式(2)～ 式(4)，系统状态空间方程可以变换成
(5)
定义：η1=a1e1+a2e2+a3e3，η2=a4e2，φ1=
将η1、η2看成扩张状态，进一步定义：
根据上述扩张状态，式(5)可重新描述为
(6)
根据式(6)，虚拟控制输入ξ3d和系统控制输入u可由以下应用ADRC的方式求出:
(7)
(8)
其中，Z1、Z2是对向量X1、X2的估计。因此，两个子系统的自抗扰状态反馈控制率设计为
(9)
由式(9)不难看出，虚拟控制律ξ3d由一个PID控制器和一个干扰补偿构成，而控制律u由一个PI控制器和一个干扰补偿组成，其中，PID部分主要负责保证系统跟踪的暂态和稳态性能，而干扰补偿部分主要的作用是补偿不确定因素对系统输出的影响。
控制矩阵Ki=NiQi和观测矩阵
可以通过以下矩阵不等式求出：
(10)
(11)
根据系统设计的控制器，整个系统的控制结构图见图3。
图3 串级ADRC控制系统结构框图
Fig.3 Block diagram of cascade ADRC control system
2.3 稳定性分析
在上述自抗扰控制策略的作用下，闭环系统的稳定性和收敛性将由Lyapunov稳定性定理及LaSalle不变集原理给出证明。
构造一个正定的Lyapunov函数：
(12)
其中，Ei=Xi-Zi，V对时间t求微分：
(13)
存在如下不等式：
(14)
(15)
由式(14)和式(15)得
(16)
根据Schur定理，Ψ1<0相当于线性矩阵不等式(10)，同理，Ψ2+0.5I<0与不等式(11)是等价的。通过求解式(10)和式(11)，可以获得观测增益矩阵Li和控制增益矩阵Ki。因此，如果Ψ1和Ψ2+0.5I是负定的，则：当ωi=0时，在平衡点，闭环系统是渐近稳定的；当
时，表明扰动信号ωi对系统的影响在某一水平γ之下。
由图3可以看出，所有其他的油缸系统都与该系统相似，因此，观测增益矩阵Lj和控制增益矩阵Kj也可以由不等式(10)和式(11)求得。
3 系统仿真验证
机器人机械臂液压系统主要参数见表1。
表1 系统主要参数
Tab.1 Main parameters
参数俯仰及摆动油缸液压伺服系统伸缩油缸液压伺服系统A1(m2)0.0153860.005024A2(m2)0.00430.0063Kv(m3/(s·A))0.0007370.000833bh(N·s/m)2525kh(MN/m)6729m(t)3210FL(kN)1220
为了模拟不同的连续曲线，分3种情况设置参考曲线ξ1d，它是由整个坐标系xd(t)、yd(t)、zd(t)的值决定的。
(1)设置一条水平线，所以zd(t)≡z0，xd(t)从-R～R变化，R=1m。
(2)类似于情况(1), 设置一条垂直曲线，然后xd(t)、yd(t)保持初始值，zd(t)从-R～R变化，并且假设参数
(3)设置一条圆曲线:yd(t)≡y0，yd(t)≡y0，xd(t)=Rcosωt，zd(t)=Rsinωt，初始值x0=-R,z0=0，ωt从0～2π变化，考虑参数的变化，假设
在仿真中，俯仰、摆动和伸缩电液系统的扰动衰减水平参数γ为0.1和0.2。两个系统的参数ε均为0.4。解线性矩阵不等式(10)和式(11)，控制器增益矩阵K和观测增益矩阵L如下。
俯仰和摆动系统：
L1a=L1b=
伸缩系统：
L1c=[-1 -6.552 5×103 1.027 3×103
-1.366 8×103]T
三种情况下的仿真结果如图4～图6所示，可以看出：①可以根据初始条件给出每个油缸的实时设定长度，且在三种仿真情况下，系统都能保证油缸位置的快速响应，同时超调量和稳态误差也能满足实际需求；②每个油缸的跟踪误差曲线是有界的，且满足实际要求；③通过控制器运算出的输入电流满足实际工况需求，且均在输入范围内(0～20 mA)。
为了更好地验证所设计控制器的有效性，将ADRC和传统的前馈PID算法进行比较，初始条件和情况(3)一样，比较结果如图7所示。通过对比可以看出，两种控制方法都可以在有限的时间内跟踪给定曲线，但是通过误差对比，所设计的ADRC控制器有更好的稳态误差和跟踪精度。
4 实验
为了验证所设计控制器的有效性，搭建了实验平台进行实验验证。实验平台[13]如图8所示，机械臂固定在底座上，幕布上的点代表末端要到达的位置点。
针对Ga和Gb系统油缸轨迹跟踪进行实验，根据仿真结果，给定油缸的实际电流，实时通过位移传感器采集位置信号，两个油缸的跟踪误差如图9所示。
图4 情况 (1)仿真结果
Fig.4 The simulation results of case 1
图5 情况(2)仿真结果
Fig.5 The simulation results of case 2
图6 情况(3)仿真结果
Fig.6 The simulation results of case 3
图7 两种控制器仿真比较结果
Fig.7 The contrast of two controllers’ simulation results
由图9可以看出，根据ADRC控制器计算出的电流输入曲线，经过放大器驱动油缸动作，其位置曲线能快速准确地跟踪给定曲线。但是，图9和图6中的误差相比，误差明显大一个数量级，达到毫米级，这是由于实际工况中仍然存在着未知的干扰以及模型的不精确，但是在此基础上应用ADRC控制器，系统仍能保持稳定，且跟踪曲线误差保持在2 mm以内，证明了所设计的控制器的有效性和可靠性。
图8 实验平台
Fig.8 The experiment equipment
(a) Ga油缸位置误差
(b) Gb油缸位置误差
图9 位置误差曲线
Fig.9 Position error curve
5 结论
(1)本文以一种八自由度冗余机器人机械臂为研究对象，提出了一种基于串级ADRC的控制策略，针对机械臂挠度的不确定性和机械装配的偏差，建立了新的干扰抑制控制器。
(2)针对3种曲线采用MATLAB软件对控制系统进行了仿真分析，并搭建实验平台进行实验，验证了控制方法的正确性、可靠性和稳定性。
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