0 引言
空间机器人可以取代宇航员执行出舱活动，从而减降风险成本，因此许多学者对其展开研究[1-2]。柔性空间机器人因其重量轻、机械臂长、载重量大，各方展开了广泛的研究。由于机器人的刚性运动和柔性振动相互作用，且各柔杆的振动模态之间也存在耦合，所以对于具有非线性强耦合特性的柔性空间机器人，其控制问题既要关注杆件轨迹跟踪，还要考虑柔性振动的抑制。文献[3]基于所提出的观测器和解耦偏微分方程动态模型，设计了一种边界控制方案，使柔性双连杆机械臂在任务空间中沿参考轨迹调节末端执行器，同时抑制了振动，并分析了其渐近稳定性。文献[4]将多杆柔性空间机器人动力学方程表示成系统惯性参数的线性化组合，在此基础上设计了奇异摄动自适应方法以跟踪期望轨迹和进行柔性抑振，并证明了控制系统的渐近稳定性。
上述针对柔性空间机器人的控制方法虽然能保证闭环控制系统是渐近收敛的，但其收敛时间理论上是无限的，往往不能满足空间机器人在轨控制任务(如快速机动)的要求。很明显，如果能设计控制律使得误差在有限时间内收敛到平衡点是十分有意义的。有限时间控制[5]是指系统的状态在有限的时间内收敛至平衡点，与一般的渐近稳定系统相较，其不但在平衡点附近具有更快的收敛速度，同时还具有更高的跟踪精度，并且具有较好的鲁棒性和抗干扰性能[6]。近年来许多学者针对有限时间稳定性控制进行了相关研究。文献[7]提出柔性空间机械臂Terminal滑模控制，不需要测量反馈载体的位置移动速度及加速度，同时可保证跟踪误差在任意指定有限时间内收敛到零。文献[8]研究了一种用于航天器姿态控制的双闭环快速终端滑模控制方案，使快速终端滑动面的内环跟踪误差和外环跟踪误差在有限时间内收敛到原点。
值得一提的是,因为传感器或驱动器等器件对某些微小信号不敏感，空间机械臂执行机构系统中存在死区非线性，除造成输出误差外，还会对系统造成极限环振荡，因此研究空间机器人高精度的控制，必须考虑死区的影响。文献[9]应用自适应神经网络来逼近未知的死区函数，并设计了控制器以消除死区的影响。文献[10]提出了一种结合非线性死区观测器和滑模控制的自适应模糊动态表面控制方案，用于估计系统的不可测状态和补偿控制中的不确定性。
由以上文献可以发现，空间机器人系统控制研究中既考虑执行机构的死区非线性、杆件的全柔性，又考虑有限时间稳定的研究较少。本文在上述研究的基础上，探讨了存在关节力矩输出死区的情况下，漂浮基双柔杆空间机器人的轨迹跟踪及柔性抑振的有限时间控制问题，并进行了仿真验证。
1 系统动力学模型
以自由飘浮的载体B?0及柔性杆B?1、B?2组成的双杆柔性空间机器人为研究对象，模型如图1所示，建立各分体B?i?i?=0,1,2的联体坐标O?i?x?i?y?i?，其中O?0与B?0的质心O?c?0重合，O?i?i?=1,2为连接B?i?-1与B?i?的转动铰中心，x?i?i?=0,1轴在O?i?与O?i?+1的连线上。x?2轴与柔性杆B?2始终相切于O?2。设O?1在x?0轴上与O?0的距离为l?0，B?i?i?=1,2沿x?i?轴的长度为l?i?；载体的质量与绕质心的转动惯量分别为m?0、J?0。C?为系统的总质心。
图1 双杆柔性空间机器人系统
Fig.1 Two-flexible links space robot system
设定两杆均为细长匀质杆件，主要考虑其弯曲变形，忽略其轴线与剪切变形，并在平面内做横向振动。柔性杆B?i?i?=1,2的线密度为ρ?i?，截面抗弯刚度为EI?i?。由振动力学理论，可将其视为伯努利-欧拉梁，则其弹性变形记作
(1)
其中，w?i?x?i?,t?为B?i?在截面x?i?0≤x?i?≤l?i?处的横向弹性变形；φ?ij?x?i?为B?i?的第j?阶模态函数；δ?ij?t?为与φ?ij?x?i?对应的模态坐标；n?i?为截断项数，因为对振动起主要作用的是前几阶模态，取n?i?=2。B?1杆视为简支梁，B?2杆视为悬臂梁，具体的模态函数可由文献[11]查询得到。
利用拉格朗日第二类方程与动量守恒定理进行推导，可得漂浮基双柔杆空间机器人的动力学方程:
(2)
Mθ,δ∈R7×7
K=diag(k?11,k?12,k?21,k?22)
其中，θ为载体姿态和杆件两关节铰相对转角的刚性广义坐标列向量;δ为杆件柔性模态坐标的柔性广义坐标列向量;M为对称、正定质量矩阵;H为包含科氏力、离心力的列向量;K为杆件的刚度矩阵；τ为载体姿态与杆件两关节铰通过死区后的输出力矩。
2 基于奇异摄动法的快、慢系统分解
采用奇异摄动方法，将动力学系统分解为慢变子与快变子系统，为此，将式(2)写作分块矩阵形式：
(3)
其中，M(θ,δ)的子矩阵
的子矩阵Hrr∈R3×3、Hrf∈R3×4、Hfr∈R4×3、Hff∈R4×4。
因M是对称正定矩阵，故其逆存在且可写作
(4)
定义奇异摄动比例因子ε?=(min(k?11,k?12,k?21,k?22))-1/2，新的状态变量z=δ/ε?2；并定义K=diag(k?11,k?12,k?21,k?22)，新矩阵
由式(3)可得双杆柔性空间机器人系统的奇异摄动模型：
(5)
(6)
据此，设计如下组合控制律：
(7)
其中，
用于控制慢变子系统完成刚性运动轨迹跟踪；τf则控制快变子系统，以抑制杆件振动。
为了得出慢变子系统，先使得ε?=0，则由式(6)可解出系统的慢变流形表达式
(8)
其中，矩阵或变量上加上划线表示其慢变分量。然后将式(8)代入式(7)，并利用
得到慢变子系统：
(9)
接着，为了更进一步得到快变系统，定义新的变量，令
则式(6)可改写为
(10)
加入快变时间尺度ϖ=t?/ε?，t?为时间，且令ε?=0，则快变子系统为
(11)
(12)
它描述的是两柔性杆的振动情况。
3 控制器设计
将此双柔杆空间机器人分解为快变、慢变子系统后，分别设计对应的子控制器，只需根据子系统的实际状态变量获得控制输出和τf，然后通过式(7)合成τ以控制空间机器人系统完成轨迹跟踪与柔性抑振，而在实际使用时无需将两个子系统分离出来。
3.1 慢变子系统有限时间控制器设计
3.1.1 关节力矩输出死区
关节力矩输出死区被用来描述系统对小信号的不敏感度，是一种非线性函数，当信号进入死区作用范围时会有相当的损失，从而造成系统控制的偏差。
空间机器人中载体姿态和位置的调整通常利用动量轮或反作用喷气推力器来进行，而两关节铰为电机驱动，因此它存在关节力矩输出死区。假设死区模型如下：
(13)
i?=1,2
其中，g?l(u)、g?r(u)为死区函数，输入为
输出为
未知的死区宽度b?li?、b?ri?均大于零，但不一定相等。
图2为死区原理图。如图2所示，u?bi?为未经死区补偿的理想控制信号，u(t?)为补偿之后的输入力矩，
为各关节的死区输出。
图2 死区原理图
Fig.2 Dead-zone principle
与u?bi?之间的关系为
(14)
ΔW?(u?i?)=ΔW?ri?ϑi?+ΔW?li?(1-ϑi?)
其中，ΔW?ri?、ΔW?li?为未知的死区参数。
3.1.2 关节力矩输出死区的有限时间控制器设计
为便于后续控制器设计，给出有限时间稳定相关引理。
引理1[12] 针对系统
假设存在连续光滑可微函数V?(x?):U?→R，使其同时满足以下条件：①V?(x?)为正定函数；②存在正实数α?>0，β?>0，0<χ?<1，并有一个不包含原点的开邻域U?0⊂U?，使得函数V?满足
(15)
那么系统为有限时间稳定，且收敛时间为
(16)
其中，V?0为V?的有界初始值。
引理2[13] B∈Rn?×n?是正定对称矩阵，λ?min、λ?max分别为矩阵B特征值中的最小值与最大值，对于x∈Rn?，有λ?minxTx≤xTBx≤λ?maxxTx成立。
假设1 慢变子系统中的载体刚性姿态与两关节铰的相对转角θ与关节角速度
均可测，期望轨迹
及其导数
已知。
定义系统跟踪误差：
e=θ-θd
(17)
为了保证有限时间收敛特性，引入跟踪误差的积分项来设计滑模面，定义有限时间积分滑模面为
(18)
Λ1=diag(Λ?11，?Λ?12，?Λ?13)
Λ2=diag(Λ?21，?Λ?22，?Λ?23)
0<γ?1<1 0<γ?2<1
其中，Λ1、Λ2均为对称正定常值矩阵。系数Λ?1i?、Λ?2i?满足多项式x?2+Λ?1i?γ?1
x?+Λ?2i?
的Hurwitz稳定性条件。
该滑模面的微分为
因0<γ?1<1，所以γ?1-1<0，若e?i?=0且
则
会出现奇异问题。因此sig?(e?i?)γ?1的导数修正如下：
(19)
其中，Δ?为一个小常数，Δ?>0。
定义慢变子系统的辅助参考输出向量：
(20)
则
(21)
控制目标是设计慢变子系统控制器
和死区补偿器，使载体与两关节铰θ以较高精度跟踪刚性期望轨迹。
采用简化死区模型，并假设死区有线性边界[14]，则设计死区补偿控制器：
u=ϑ(ub+Kbr)+(I-ϑ)(ub+Kbl)
(22)
ϑ=diag(ϑ1,ϑ2) Kbr∈R2 Kbl∈R2
采用如下的有限时间积分滑模控制规律：
β2sig?(s)γ?2
(23)
其中，ks、β1、β2均为3×3正定对角增益矩阵；ε?为一个小常数，
为
的估计值。
结合式(9)、式(14)和式(21)，得到误差方程：
(24)
假设2 存在正常数δ?i?(i?=M?,H?,W?)，使得‖ΔM‖≤δ?M?，‖ΔH‖≤δ?H?，‖ΔW?(u)‖≤δ?W?。
定理 对于式(9)所示的空间机器人慢变子系统，采用式(23)的控制规律，跟踪误差e在有限时间内收敛到原点。
证明：构造如下的李雅普诺夫函数V?：
(25)
V?对时间t?求一阶导数，可得
(26)
根据
满足斜对称性[4]，即
并将式(23)、式(24)代入可得
ε?)-1-β2sig?(s)γ?2]
(27)
由假设2，有
-‖s‖δ?1-β?1min‖s‖(‖s‖+ε?)-1-
(28)
k?smin=λ?min(ks) β?1min=λ?min(β1)
其中，k?smin、β?1min分别为ks、β1的最小特征值。
如果β?1min满足δ?1(‖s‖+ε?)≤β?1min‖s‖，则
(29)
因此由引理1可知，空间机器人系统是有限时间稳定系统，跟踪误差在有限时间内收敛到原点。
3.2 快变子系统的线性二次控制器
采用线性二次型调节器来控制双柔杆空间机器人的快变子系统，以主动抑制两柔性杆的振动。
将式(11)、式(12)写成状态方程表达式，令状态变量
则
(30)
如式(30)所示，快变子系统为线性系统，最优控制方法可用于将系统状态变量ζ调整到零，从而实现两杆柔性振动的抑制。对于线性系统，若将性能指标函数设定成状态变量和控制变量的二次型积分，并且获得函数取最小值时的控制量uf，则系统可以获得最佳性能。
性能指标函数：
(31)
其中，Q∈R7×7为半正定加权对称阵:R∈R3×3为正定加权对称阵。
基于线性二次型最优控制理论，为了使J?最小化，控制量应满足
τf=-R-1BTPζ
(32)
其中，P满足以下Riccati代数方程：
PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0
(33)
4 仿真算例
以图1给出的动力学模型为例，结合死区补偿器(式(22))，采用慢变子系统控制规律(式(23))与快变子系统控制量(式(32))进行系统仿真。
系统惯性与结构参数取值：l?0=l?1=1.5 m，l?2=1.0 m，m?0=40 kg，J?0=34.17 kg·m2，ρ?1=3.5 kg/m，ρ?2=1.1 kg/m， (EI?)1=50 N·m2，(EI?)2=50 N·m2。
设双柔杆空间机器人终端期望位形
初始位形
设定文中所采用的控制方法的轨迹追踪过程仿真时间为t?=40 s；而传统滑模控制方法的仿真时间为t?=150 s。
参数选择：γ?1=0.8，γ?2=0.8，ε?=2，ks?=diag(50,30,20)，Λ1=diag(0.3,0.2,0.3)，Λ2=diag(0.05,0.05,0.05)，β1=diag(2.5,2,2)，β2=diag(4,3.5,3)。
死区宽度取为
图3～图5的仿真分别为存在关节力矩输出死区的情况下，采用有限时间控制方法的双柔杆空间机器人载体与两关节铰的实际运动轨迹与期望运动轨迹图以及两柔性杆的一阶、二阶模态。由图3～图5的仿真结果可以看出：文中采用的控制方法能够使其在有限时间内跟踪刚性期望轨迹，同时抑制柔性振动。
为对比死区补偿的有效性，图6给出了关闭死区补偿之后的误差图。由仿真结果可以看出，空间机械臂载体与两关节铰误差在关闭死区补偿之后收敛。
图3 载体与两关节铰的轨迹跟踪图
Fig.3 Trajectory tracking of the base and two joints
(a)一阶模态
(b)二阶模态
图4 柔性杆B1模态
Fig.4 The mode of flexible linkB1
(a)一阶模态
(b)二阶模态
图5 柔性杆B2模态
Fig.5 The mode of flexible linkB2
图6 载体与两关节铰的误差图(关闭死区补偿)
Fig.6 Trajectory tracking errors of the base and two joints
(off dead-zone compensation)
将本文所设计控制律与传统的滑模控制律进行对比，由图7轨迹跟踪图与表1收敛时间与稳态误差数据可以看出，传统滑模控制方法的收敛时间更长，稳态误差更大。虽然图3仿真初期的轨迹跟踪扰动更大，但衰减更快，说明有限时间控制的鲁棒性与抗扰性更好。
图7 载体与两关节铰的轨迹跟踪图(传统滑模控制)
Fig.7 Trajectory tracking of the base and two joints
(conventional sliding mode control)
5 结论
(1)本文考虑双柔杆空间机器人控制过程中存在关节力矩输出死区的实际情况，设计了有限时间控制器与死区补偿估计器，使得载体与两关节铰能够协调地跟踪刚性运动轨迹；采用线性二次型调节器主动抑制了两柔性杆的弹性振动。
表1 不同控制方法的性能指标对比
Tab.1 Comparison of performance indexes ofdifferent control methods
稳态误差(rad/s) 收敛时间(s)θ0θ1θ2θ0θ1θ2有限时间控制1×10-42×10-51×10-521.327.523传统滑模控制2×10-34×10-34×10-311798108
(2)结合有限时间稳定性引理、李雅普诺夫理论证明了跟踪误差会在有限时间内收敛到原点。
(3)由仿真结果看出，在关节力矩存在死区时，若不进行补偿，将极大降低控制精度。同时与渐近稳定的传统滑模控制方法对比，本文有限时间控制方法收敛时间更快、稳态误差更小、精度更高，也表明了所提出控制方法的有效性。
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