0 引言
航空发动机转子的轴心轨迹能够部分反映转子动力学特性和运行状态，从中可以获得转子不平衡、不对中、松动、碰摩、弯曲等信息，由此对轴心轨迹进行分析研究，可为航空发动机转子动力学设计和故障诊断提供重要的依据［1－2］。
轴心轨迹自动识别实际上就是二维图像信息处理及其模式识别过程。目前，轴心轨迹信息处理主要方法有小波分析、经验模态分解（EMD）、不变矩、编码方法等；模式识别方法有概率统计、神经网络、关联度分析、D－S证据理论等。袁倩等［3］利用不变矩和傅里叶描述子提取轴心轨迹特征，并采用D－S证据理论识别故障。许飞云等［4］通过改进的Zernike矩获取轴心轨迹矩特征向量，与神经网络分类器相结合来识别轴心轨迹形状。付波等［5］研究了轴心轨迹的仿射不变矩，结合人工神经网络方法进行故障诊断。刘刚等［6］采用周期重采样和小波降噪相结合的方法提纯轴心轨迹，将轴心轨迹的极半径序列作为特征，利用BP神经网络进行识别。陈仁祥等［7］采用集成经验模态分解（EEMD）对轴心轨迹降噪后提纯，并与谐波窗和EMD进行对比。陈喜阳等［8］引入了Hu矩和仿射矩的组合矩作为特征向量，利用改进的粒子算法和BP神经网络相结合的方法识别水电机组的轴心轨迹。
由上可见，轴心轨迹识别的研究主要集中于二维图像降噪提取特征向量，但模式识别方法不能较好地解决小样本、非线性、局部极小点等实际问题。为了提高小样本问题识别准确率，针对航空发动机转子故障，本文提出了基于支持向量机（SVM）决策树的智能识别方法。该方法利用二维形状不变矩提取轴心轨迹形状特征，进而构造特征故障的训练和测试样本，对SVM进行训练和学习，构造SVM决策树，从而识别航空发动机转子故障类别。
1 二维形状不变矩法
二维形状不变矩法是一种通过提取轴心轨迹图像中的不变矩来识别形状的方法。图像的不变矩主要表征图像区域的几何特征，具有旋转、平移、尺度等不变性的数学特征。不变矩具有明确的物理意义，可以把图像看成一块质量密度不均匀的薄板，则各阶矩有着不同的含义：零阶矩表示它的总质量；一阶矩表示它的质心；二阶矩又叫惯性矩，表示图像的大小和方向［9－10］。
设一个二维函数f（x，y）为图像在R2平面内的分布密度函数，它表示在坐标点（x，y）上的灰度，且是分段连续的，则对于任意正整数u和v，f（x，y）在R2平面上的u＋v阶矩定义为
考虑到轴心轨迹图像为离散图像，故需简化上式，式（1）离散形式为
为简化计算，R2平面上轴心轨迹经过的各坐标点的灰度都相同，即f（x，y）＝1；反之轴心轨迹没有经过的各坐标点的灰度为0，即f（x，y）＝0。则式（2）可简化为
为了使矩特征具有平移变换不变性，需要对矩Muv进行变换处理，计算其图像的中心矩。轴心轨迹在R2平面内的u＋v阶矩的中心矩
式中，x0、y0分别为图像的质心。
同理，为了使矩特征具有比例变换不变性，需要对中心矩μuv进行归一化处理：
最后，可利用归一化的中心矩的特征集合来使矩特征具有旋转变换不变性。本文利用Hu研究得到的7个完备的2阶、3阶归一化的中心矩
，通过计算轴心轨迹的7个不变矩构成的矩组来表征几何特征。不同形状的轴心轨迹都可以计算得到唯一的矩组，这为正确识别轴心轨迹提供了保证。
2 SVM决策树
SVM方法建立在统计学习理论的VC维理论和结构风险最小原理基础上，相对于其他分类方法，它的主要优点如下：可以解决非线性、高维问题，可以解决小样本的机器学习问题；具有较好的推广性；避免了选择局部极小点问题。但是最初的SVM是用来解决二类分类问题的，并不能直接运用在多类分类问题上。而SVM决策树解决了多类分类问题，它是通过构造一系列的两类分类器SVM，并把它们组合在一起来实现多类分类的。针对航空发动机转子多类的故障模式，本文采用基于二叉树的SVM多类分类方法，该方法优于其他多类分类方法，具有较好的推广性。
2.1 支持向量机原理
首先考虑线性可分的两类问题，设样本为（xi ，yi ），i＝1，2，…，s，其 中，xi ∈Rm，yi∈｛1，－1｝。构建一个分类超平面H的方程［11］：
该超平面可以将样本正确地划分为两类，分类如下：
如图1所示，SVM的超平面H 可以正确分开两类样本，为了使两类样本之间的间距最大，即超平面到最近样本点的距离最大，需要求解最优超平面，即
约束条件为
图1 SVM原理
Fig.1 The schematic drawing of SVM
为求解上述函数最小值，引入拉格朗日乘子，αi≥0，i＝1，2，…，l。则式（8）可线性变换为
约束条件为
式（11）中只有αi≥0的样本有效，并且这些样本就是支持向量，即图1中H1和H2上的训练样本［12］。最优分类判别函数为
对于非线性可分的问题，可以通过选用适当核函数将数据映射到更高维的特征空间中，从而转化成线性可分问题。因此，非线性可分问题求解最优超平面的最大化方程为
最优分类判别函数
其中，K （x · xi ）为 核 函 数。 选 择 不 同 的 核 函 数就可以构造出不同类型的SVM。考虑到数据没有先验知识，并且使计算过程简单化，本文选择的核函数为Gauss核函数：
式中，xc为核函数中心；σ为函数的宽度参数，控制函数的径向作用范围。
2.2 基于二叉树的SVM多类分类方法
根据航空发动机转子的故障机理，可以得出：转子不平衡量大时，轴心轨迹为显著的椭圆形；转子发生不对中故障时，典型的轴心轨迹是香蕉形，严重不对中故障会使轴心轨迹变成外8字形；当机械松动时，轴心轨迹是不规则图形；当转子之间发生碰摩时，轴心轨迹则比较杂乱，呈现梅花形。本文以4种常见故障模式（不平衡、不对中、松动和转静子碰摩）的轴心轨迹形状来构造多类分类器［12－13］。采用基于二叉树的 SVM 多类分类方法，其多类分类器构造步骤如下：第1个二类分类器SVM1将第1类故障与第2，3，…，N 类故障分开，构造SVM1；第i个二类分类器SVMi将第i类故障与第i＋1，i＋2，…，N 类故障分开，构造SVMi；直到第N－1个二类分类器SVM（N-1）将N－1类故障与第N 类故障分开，构造SVM（N-1）；最后把N－1个二类分类器按照二叉树的结构来构造SVM决策树，即可准确分类N 类故障。转子轴心轨迹SVM决策树判别故障流程如图2所示。
图2 轴心轨迹的SVM决策树
Fig.2 SVM decision tree of shift orbits
3 基于SVM决策树的智能识别方法
结合信号的时域和频域特征，可知航空发动机转子轴心轨迹不同形状对应不同状态。本文利用的二维形状不变矩是将各阶矩作为特征来描述和分析图像，它具有旋转、平移、尺度等不变性的数学特征，故可作为转子故障的特征向量。SVM决策树是针对小样本和多类分类问题的机器学习理论，比神经网络等其他传统分类方法具有更好的泛化性能、更高的分类能力和准确率，并且在时间效率方面有明显提高。该智能识别方法充分综合利用了二维形状不变矩和支持向量机决策树的优点，可准确高效地识别轴心轨迹形状特征。
基于SVM决策树的轴心轨迹识别方法流程图如图3所示，其步骤如下。
图3 基于SVM决策树的智能识别方法流程图
Fig.3 Flow chart of intelligent recognition method based on SVM decision tree
（1）轴心轨迹信号预处理。由于实测信号包含丰富的系统运行状态信息，信噪比较低，特别是转子故障特征信号微弱或被其他信号淹没时，其轴心轨迹比较复杂，降低了转子故障类别识别的准确性，故需要对原始信号进行降噪以提取有用的信息。本文采用EMD方法对轴心轨迹进行滤波降噪和倍频提纯，即对原始信号进行EMD分解，得到各个IMF分量，根据转子故障的先验知识（如转频、2倍频、3倍频、4倍频，还包括次频成份：1／2倍频、1／3倍频、1／4倍频等），选择相应时间特征尺度的IMF重构信号，得到有用的故障信号，从而形成比较清晰的轴心轨迹。常见的5种轴心轨迹提纯前后对比见图4。
图4 5种常见轴心轨迹提纯前后对比Fig.4 Comparison of five common shift orbits before and after purification
（2）计算二维形状不变矩。对提纯后的轴心轨迹图像进行填充，然后分别计算φ1～φ7，构造不变矩特征向量。由于计算得到的不变矩值动态范围较大，为了权衡各不变矩的比重，对不变矩进行lnφi 计算，并取其绝对值，获得修正的不变矩组。
（3）构造SVM决策树。根据故障经验所获得的仿真和试验数据，对每种故障信号按照步骤（1）和步骤（2）进行处理，得到每类故障30组训练样本和30组测试样本。
将每类故障30组共120组训练样本构成训练集 ｛（x 1 ，y1），（x 2 ，y2），…，（x 12 0，y120）｝，其中，xi∈R7，即不变矩特征向量；yi∈｛1，－1｝，yi＝1表示该样本点xi不存在某种故障；yi＝－1表示xi属于某种故障。训练完每个SVM以后，将每类故障30组共120组测试样本对每个SVM进行测试，每个SVM判别准确率见表1。
表1 每个SVM测试准确率
Tab.1 Test accuracy of each SVM %
SVM1（不平衡）SVM2（不对中）SVM3（松动） SVM4（碰摩）100 99 98 98
然后构造SVM决策树，把每类故障的30组测试样本输入SVM决策树进行故障识别，记录测试样本分类结果，见表2。
表2 SVM决策树测试结果
Tab.2 Test results of SVM decision tree
故障种类不平衡 不对中 松动 碰摩不平衡 30 1 0 0测试结果不对中 0 29 1 1松动 0 0 28 1碰摩 0 0 1 28识别率（%） 100 96.7 93.3 93.3
由表2可以看出，采用基于二叉树的SVM多类分类方法，航空发动机转子轴心轨迹故障诊断的准确率均可达93.3%以上。
（4）智能识别。将实测信号的7不变矩组成的特征向量构造测试样本输入SVM决策树，用基于二叉树的SVM多类分类方法进行故障类别识别，即可识别轴心轨迹的形状和故障类别。
4 航空发动机应用实例
由于测量环境限制，某航空发动机转子的轴心轨迹是通过测量弹性支撑器的振动应力信号来获取的。该方法的原理如下：在弹性支撑器的弹性变形范围内，弹性支撑器振动应力和转子支撑点的位移成线性关系，由此可以直接从转子弹性支撑器的弹条上获取转子振动应力，其信号信噪比高，从而可获得转子的轴心轨迹［14－15］。实测的不同故障轴心轨迹如图5所示，按照上述步骤对其进行识别。
图5 实测的不同故障轴心轨迹
Fig.5 Measured shift orbits of different faults
（1）轴心轨迹信号预处理。对原始振动应力信号采用EMD方法进行滤波降噪和倍频提纯，首先进行EMD分解得到IMF分量，根据航空发动机转子转速45 000r／min可知转频为750Hz，计算得其各个倍频：187.5Hz、250Hz、375Hz、750Hz、1 500Hz、2 250Hz、3 000Hz，选取相应频段的IMF分量进行信号重构，滤波降噪后提纯的信号组成的轴心轨迹如图6所示。
图6 滤波降噪、提纯后的轴心轨迹
Fig.6 Shift orbits after the purification and filtering noise reduction
（2）计算二维形状不变矩。对轴心轨迹图形进行填充，然后计算其不变矩特征向量，计算结果见表3。
表3 轴心轨迹图像的不变矩
Tab.3 Invariant moments of shift orbits
轴心轨迹图像 不变矩ln φi 1 2 3 4 5 6 7图像a 0.722 0 1.656 6 9.896 9 11.121 2 21.456 7 12.543 24 24.231 0图像b 0.652 5 2.457 8 2.235 7 3.356 3 6.200 1 4.876 0 8.434 4图像c 0.334 3 6.765 0 0.899 9 6.908 7 11.432 3 10.666 7 10.639 1图像d 3.455 34 0.322 3 5.694 5 1.256 9 12.655 4 3.374 1 9.878 9
（3）智能识别。将步骤（2）获得的不变矩特征向量输入SVM决策树，图像a识别结果为不平衡，图像b和图像c识别结果都为不对中，图像d识别结果为碰摩，可知它们与实际相符，从而验证了该方法的有效准确性。
5 结论
采用EMD提纯方法使得故障特征显著，有利于识别图形模式，提高了样本数据的有效性。取得了较高的识别率，有效地解决了小样本的多类分类问题；将其应用于航空发动机转子轴心轨迹识别，识别结果与实际相符，证明了该方法的有效性及准确性。与其他模式识别方法相比，该方法比较适合类似于航空发动机转子样本规模比较小的问题，具有训练速度快、分类速度快、分类精度高或泛化能力强的特点，且具有全局最优、结构简单、推广能力强等优点，解决了不可分区域问题。
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