0 引言
旋杯的涂层累积速率模型[1](简称累积模型)、匀速喷涂厚度模型及涂料投射模型[2]是喷涂机器人离线编程中漆膜厚度计算与轨迹规划环节的重要基础。在计算自由曲面上某点漆膜厚度时，首先需要求得该点(某时刻)的累积速率，然后积分求得总的漆膜厚度，而该点(某时刻)的累积速率则需要根据基准面上的累积速率模型以及涂料投射模型推导计算而来，因此旋杯的累积速率模型、投料投射模型是漆膜厚度计算的重要基础；而在进行轨迹规划的时候，需要确定两条轨迹的最优间距，以达到喷涂均匀的目的，而最优间距则由旋杯的(累积速率模型所对应的)匀速喷涂厚度模型决定，因此旋杯的累积速率模型、匀速喷涂厚度模型是轨迹规划的重要基础。
旋杯的涂层累积速率模型分为非圆环形(也称为满月形)与圆环形。现有文献中关于满月形累积模型较多，如：无限范围的高斯分布模型[3]与柯西分布模型[4]；有限范围的β分布模型[5]、椭圆双β分布模型[6]、分段函数模型[7]、曲面上的3D模型[8-9]以及与喷涂工艺相结合的多变量模型[10-11]等。对于圆环形累积速率模型的研究则相对较少。COLBERT等 [12]通过理论分析和实验研究对满月形与圆环形累积模型的成形原理进行了探索，但是并未提出相应的累积模型数学表达式，赵德安等[13-14]也做过类似的工作；CONNER等[15]提出了一种较为全面的高斯偏置模型，该模型能够表示圆环、满月以及对称、非对称等模型，但是也有不足之处，一是该模型是以无限范围的高斯模型为基础，与实际的有限范围不符；二是不能表达圆环形中的总体对称、局部非对称的模型。
关于旋杯(或喷枪)的涂料投射模型，现有文献研究的主要是直线投射模型[16-17]，而旋杯中的油漆微粒受到流体动力、空气动力、电场静电等力的作用[18]，其涂料投射模型不再是直线，所以模型会有较大的误差；或者运用流体力学来模拟油漆微粒的轨迹模型，但该类方法建模复杂、计算量大，难以应用在离线编程喷涂系统中。CONNER等 [15]首次提出幂函数投射模型，但是并没有给出一般性结论。
本文提出了一种新的累积模型——双偏置β模型，并结合实验数据构建了基于正态分布的曲线投射模型 [19]。
1 旋杯累积速率新模型
旋杯的涂层累积速率模型描述了指定的基准面上某点的喷涂累积速率v与该点到喷斑中心点的距离r的关系，可通过测试旋杯喷涂单位时间所形成的圆形喷斑的径向漆膜厚度分布得到。由于旋杯与喷枪的结构不同，使得喷斑形状不同。旋杯的结构原理见图1。
图1 旋杯的结构原理图
Fig.1 The structure of rotating cup
通过调节成形空气压力值的大小可以改变累积速率模型的形状，在一定条件下，可以分别得到满月形累积模型与圆环形累积模型，如图2所示。
图2 旋杯的喷涂形状
Fig.2 Two models of rotary-cup spraying
1.1 双偏置β累积模型及其性质
双偏置β模型是在标准β分布函数的基础上经过两个主要步骤变换得来的：①把标准β分布函数的相关参数进行替换以得到适合表达旋杯模型的β函数；②对新得到的β函数进行偏移、对称等操作，最终得到双偏置β模型。下面详细探究双偏置β模型的推导过程。
(1)标准β分布[20]表达式为
式中，B(a,b)为与形状参数a、b有关的定值。
(2)β函数。β函数是在标准β分布的基础上结合实际需求对某些参数进行替换所得的，函数图像见图3，其表达式如下：
(1)
其中，K为峰值，K0为函数ra(d-r)b的极值，在
处取得；形状参数a、b，用于调节形状，当a=b时，β函数关于极值点对称，当a≠b时，β函数非对称，且a>b时，图像往内侧偏，当a<b时，图像往外侧偏。
图3 β函数示意图
Fig.3 The schematic diagram of β function
(3)双偏置β模型。双偏置β模型是在β函数的基础上进行偏移、对称(关于x轴)得来的，其图像见图4，表达式如下：
v(r)=G(r-D)+G(-r-D)=
F(r+D0-D)+F(-r+D0-D)
(2)
其中，v(r)表示以喷斑中心为圆心、半径为r的圆形上的所有点的累积速率(只要与喷斑中心的距离r相同，则旋杯的累积速率模型相同)；G(r)由上文β函数向左偏移D0得到；G(r-D)为右偏置模型，由G(r)向右偏移D得到；G(-r-D)是左偏置模型，是G(r-D)关于x轴对称后得到的函数。左右偏置模型相加最终得到双偏置β模型。
图4 双偏置β累积模型示意图
Fig.4 Sketch map of multivariate double biasβ cumulative rate model
1.1.1 双偏置β模型表示非圆环形模型
非圆环形模型的特点是峰值在零点处取得且函数值由中心向两边递减，如图5所示。
图5 一般满月形累积速率模型
Fig.5 General unimodal cumulative rate model
当用双偏置β模型表示非圆环模型时，需要偏距D=0且形状参数a=b=β，此时d=2D0，化简式(2)得
(3)
式(3)就是经典的β分布模型，所以经典β分布模型是双偏置β模型的一种特殊情况。经典的β分布模型流量qV表达式[21]如下：
1.1.2 双偏置β模型表示圆环形模型
圆环形模型的特点是函数零点处的值为零，峰值在两边出现，当用双偏置β模型表示圆环形模型时，需要满足偏距
如果形状参数a=b，则表示模型是局部对称的，如图6所示；如果a≠b，则表示模型是局部非对称的，若a<b，模型的极值点偏向内侧(图7a)，若a>b，模型的极值点偏向外侧(图7b)。正是因为上述性质，双偏置β模型能够通过调节偏距以及形状参数来表达不同形状。双偏置β模型其流量qV表达式如下：
且当a、b均为正整数的时候，qV表达式为
图6 局部对称圆环形累积速率模型
Fig.6 Locally symmetric annular cumulative rate model
图7 局部非对称圆环形累积速率模型
Fig.7 Local asymmetric annular cumulative rate model
1.1.3 双偏置β模型表示特殊累积模型
本文的特殊累积模型是指累积速率可能在中间某区域近似为常值，而在两端逐渐降低的模型，如图8所示。对于这类累积模型，现有理论一般用分段函数表示，然而分段函数表达较复杂，用双偏置β模型可以很好地解决这个问题。
图8 特殊满月形累积速率模型
Fig.8 Special full moon cumulative rate model
经计算证明，当偏距D满足下式时，能够叠加为中间较为平缓的累积模型：
(4)
其流量qV的表达式如下：
1.2 双偏置β模型的匀速喷涂厚度模型
旋杯沿着某条直线以速度vs进行匀速喷涂，如图9所示，假设运动的距离足够长，则与该直线距离X的平行线上所有点的厚度T都相同，T与X的关系即匀速喷涂厚度模型，可以用T-X图表示。研究旋杯的匀速喷涂厚度模型有助于研究喷涂的最佳间距，最终为轨迹规划做准备。
图9 旋杯匀速喷涂示意图
Fig.9 Schematic diagram of uniform spraying
喷涂剖面厚度T与累积模型偏距D以及考察直线与喷涂中心线距离X的关系为
当流量为qV、形状参数a=b且恒定时，不同的偏距D对应不同的累积速率模型，通过MATLAB可以把T与X、D的关系用三维图表示出来，如图10所示。
图10 不同偏距下流量恒定的匀速喷涂厚度模型
Fig.10 Different offset under the constant flow ofuniform spraying thickness model
特别地，若累积模型的偏距为0，即模型为β分布模型，且β为正整数，那么其匀速喷涂厚度模型同样满足β分布。用MATLAB搭建的漆膜厚度仿真系统可以仿真出其漆膜厚度分布云图(图11)，证明如下：
(5)
当累积模型为圆环形模型，虽然在r=0处的
图11 经典β模型的匀速喷涂厚度模型
Fig.11 Uniform spraying thickness model of β model
喷涂速度为0，但是在匀速喷涂模型中，X=0处的厚度却不为0，如图12所示。由图10可以看出，选取合适的偏距D可以使匀速喷涂厚度模型的中间段较为平缓。这从理论上说明，在实际应用中能够找到合适的旋杯偏距D，使得旋杯在匀速直线喷涂后所得涂层的中间段厚度较为均匀，具有重要的应用价值。
图12 圆环形累积模型的匀速喷涂厚度模型
Fig.12 Uniform spray thickness model of circularand annular cumulative rate model
2 涂料投射模型
旋杯的涂料投射模型是油漆微粒在喷涂过程中的空间轨迹模型，即旋杯涂层累积速率中的半径r与被喷涂面与旋杯中心距离Z的关系，可以用Z-r图表示(图13)。
图13 涂料投射模型
Fig.13 Paint projection model
2.1 一般涂料投射模型
现有投射模型大部分是简单的直线投射模型，如图14a所示；旋杯中的微粒由于受到各种力的作用，投射形状不是直线而是较为复杂的曲线函数模型，如图14b所示，这个模型会对非基准面的厚度以及工件曲面的交点产生影响。
图14 旋杯的两种投射模型
Fig.14 Two projection models of the rotary-cup
曲面上任意一点的累积速率与其在基准面上对应点累积速率的关系如图15所示。给定基准面上的某点q及其在工件曲面上对应的点s，点q及点s对应的累积速率分别为vq与vs，其附近的区域为Rq与Rs，两区域的面积是ARq与ARs。因为两区域的对应的流量相同，分别为qVRq与qVRs，其中qVRq=ARqvq，qVRs=ARsvs，所以ARqvq=ARsvs，即
(6)
式中,AM为面积放大系数。
以下推导AM的表达式[22]。大量的油漆微粒从O点发射出来，不同的微粒喷射路径不同，假设这些路径的形状相似，不同的只是各自的系数，那么这一系列的路径可以用函数Z=f(kr)表达，其中k表示不同路径。对于喷涂区域内的某点，其三维坐标如下：
(x， y， z)=(rcosθ， rsinθ， f(kr))
(7)
θ=arctan2(y,x)
根据f(kr)的具体表达式和s点坐标求点q坐标，为计算出Vq作准备：
(xq, yq, zq)=φ(xs, ys, zs)=
(8)
其中,Ω为点s所在平面与中心点O的距离；函数g为f的反函数，即g(z)=f-1(z)。如果用γ(u,w)表示点s的切平面，则γ(u,w)=s+uE1+vE2。用Ψ(u,w)表示把切平面γ映射到基准平面，表示如下：
Ψ(u,w)=(φ∘γ)(u,w)=(X(u,w)， Y(u,w)， Ω)=
E1×E2=n E1=(E11， E12， E13)
E2=(E21,E22,E23)
当u、w较小的时候， γ(u,w)表示区域Rs， Ψ(u,w)表示区域Rq，放大系数AM为两区域面积之比极限[22]，其结果如式(9)所示：
(9)
现假设基准面q上某点(xq,yq,zq)累积速率为
喷涂面s为平面z=zs，根据式(6)与式(9)，则在该平面上点(xs,ys,zs)的累积速率为
Vs(r)=Vs(xs,ys,zs)=AMVq(φ(xs,ys,zs))=
(10)
式(10)称为任意投射模型下的累积模型平面转换公式。由式(10)可以看出，喷涂平面s上的累积模型相当于把基准面上的累积模型在横轴与纵轴上分别作了一次伸缩变换。
2.2 涂料投射新模型
2.1节推导了投射模型为任意函数时的速率转换公式，在此基础上，结合实验数据，提出了一种基于正态分布的曲线投射模型(即确定了投射模型的具体函数表达式，不再是抽象的表达式z=F(r))，其表达式如下：
z=F(kr)=L-Le-k2r2
(11)
式中，L为旋杯最大喷涂距离；k为方差，用于控制旋杯投射模型的形状。
图15 曲线投射模型示意图
Fig.15 Sketch map of curve projection model
在传统的直线投射模型中，高度与半径是正比例函数关系，即z=F(kr)=kr，假设喷涂面是平面，n=(0, 0, -1)，代入式(9)，则有
(12)
将式(12)代入式(10)，求得直线投射模型下的累积模型平面转换公式：
对应图16中的“直线投射对应V-r图”。
若涂料投射模型为正态模型，同样假设喷涂面为平面，把z=L-Le-k2r2代入式(9)，则有
(13)
将式(13)代入式(10)，求得正态投射模型下的累积模型平面转换公式：
其图像对应图16中的“正态投射对应V-r图”。
图16 两种投射模型的累积模型对比图
Fig.16 Comparison model of cumulative model between
the two projection models
3 实验验证
为了验证本文提出的旋杯累积速率模型及涂料投射模型的正确性，采用铭捷涂装技术有限公司某型号的旋杯进行实验。
3.1 旋杯累积速率新模型
选择某型号的旋杯，调节图1所示的成形空气的压力值使得旋杯的模型分别是非圆环形与圆环形，且分别喷涂单位时间，得到图17所示的喷斑图形，然后分别测试两喷斑的径向漆膜厚度分布情况得到累积速率的数据点(需要注意的是，对某个喷斑而言，其不同径向的漆膜厚度分布稍有不同，所以测试了4个径向的厚度分布再取平均值)；之后用双偏置β模型分别进行拟合，从图18中可以看出，双偏置β模型可以较好地拟合非圆环与圆环两种模型。
3.2 涂料投射新模型
估算旋杯允许的喷涂距离区间，把距离区间均分为4份，保持旋杯的流量、转速、电压等其他参数不变，在各个高度下进行喷涂，然后分别测试各个高度下的厚度模型数据，共得到5组数据。根据实验所得的数据，结合2.2节的理论推导，首先用双偏置β模型拟合出最小与最大高度下的2个累积速率模型并得出5个高度下的喷涂半径，然后分别用正态投射模型和直线投射模型拟合半径数据，得到旋杯的新旧两种投射模型。以最小喷涂距离下的累积速率模型为基准面速率模型，结合式(12)与式(13)，分别得到基于正态投射模型与直线投射模型的某高度(如最大高度)下的累积速率模型的理论模型，把两种理论累积模型和该高度下的实际累积模型作对比，如图19所示。
图17 非圆环与圆环形喷斑
Fig.17 Spray patterns of single peak type and ring type
图18 双偏置β模型拟合两种累积速率模型
Fig.18 Double bias β model fits two cumulative rate models
图19 正态与直线投射模型的理论与实验数据对比
Fig.19 Comparison of the theoretical and experimental data of normal and linear projection models
从图19中可以看出，由基于正态投射模型计算出的理论累积模型更接近于实测数据点。
4 结论
(1)本文提出了一种新的适用于旋杯的累积速率数学模型——双偏置β模型，该模型不仅能表达多类型的圆环形模型，也能回归到经典的β模型用于表达非圆环形模型，还能用于一些特殊形状模型的表达。
(2)推导了任意曲线投射模型下工件曲面上某点累积速率与基准面上其对应点累积速率的关系，在此基础上，推导了任意投射模型下的累积模型平面转换公式，并结合实验数据，构建了基于正态分布的曲线投射模型。
(3)实验验证了新模型的适用性与准确性。
[1] 胡裕渊. 静电喷涂机器人轨迹优化与仿真技术研究[D].镇江：江苏大学,2010.
HU Yuyuan. Research on Optimization of Trajeetory for Electrostatic Spraying Robot and Simulation Technique[D].Zhenjiang：Jiangsu University , 2010.
[2] 曾勇. 大型复杂自由曲面的喷涂机器人喷枪轨迹优化研究[D]. 兰州：兰州理工大学,2011.
ZENG Yong. The Research on the Spray Tool Trajectory Optimization of Painting Robot for Large and Complex Free-form Curved Surface[D]. Lanzhou：Lanzhou University of Technology,2011.
[3] FREUND E, ROKOSSA D, ROSSMANN J. Process Oriented Approach to an Efficient Off-line Programming of Industrial Robots[C]// 24th Conference of the IEEE Industrial Electronics Society. Piscataway, 1998:208-213.
[4] ANTONIO J K. Optimal Trajectory Planning for Spray Coating[C]// IEEE International Conference on Robotics and Automation. Piscataway, 1994: 2570-2577.
[5] BALKAN T. Modeling of Paint Flow Rate Flux for Circular Paint Sprays by Using Experimental Paint Thickness Distribution[J]. Mechanics Research Communications, 1999,26(5):609-617 .
[6] 张永贵,黄玉美,高峰,等.喷漆机器人空气喷枪的新模型[J].机械工程学报,2006,42(11):226-233.
ZHANG Yonggui, HUANG Yumei, GAO Feng, et al. New Model for Air Spray Gun of Robotic Spray Painting[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2006,42(11):226-233.
[7] 冯川,孙增圻. 机器人喷涂过程中的喷炬建模及仿真研究[J]. 机器人,2003,25(4):353-358.
FENG Chuan, SUN Zengqi. Models of Spray Gun and Simulation in Robotics Spray Painting[J]. Robot, 2003, 25(4):353-358.
[8] 曾勇,龚俊. 面向自然二次曲面的喷涂机器人喷枪轨迹优化[J]. 中国机械工程, 2011,22(3):282-290.
ZENG Yong, GONG Jun. Trajectory Optimization of Spray Painting Robot for Natural Quadric Surfaces[J]. China Mechanical Engineering, 2011, 22(3): 282-290.
[9] 曾勇,龚俊,陆保印. 面向直纹曲面的喷涂机器人喷枪轨迹优化[J]. 中国机械工程,2010,21(17): 2083-2089.
ZENG Yong, GONG Jun, LU Baoyin. Trajectory Optimization of Spray Painting Robot for Ruled Surfaces[J]. China Mechanical Engineering, 2010,21(17): 2083-2089.
[10] 李发忠. 静电喷涂机器人变量喷涂轨迹优化关键技术研究[D]. 镇江：江苏大学, 2012.
LI Fazhong. Research on Key Techniques of Robotic Spray Painting Trajectory Optimization [D].Zhenjiang：Jiangsu University, 2012.
[11] 王国磊, 伊强, 缪东晶,等. 面向机器人喷涂的多变量漆膜厚度分布模型[J]. 清华大学学报(自然科学版), 2017,57(3):324-330.
WANG Guolei, YI Qiang, MIAO Dongjing, et al. Multivariable Coating Thickness Distribution Model for Robotic Spray Painting[J]. Journal of Tsinghua University (Science and Technology), 2017,57(3):324-330.
[12] COLBERT S A. Numerical Simulations of Droplet Trajectories from an Electrostatic Rotary-bell Atomizer[D]. Philadelphia: Drexel University, 2006.
[13] 赵德安. 静电喷涂机器人变量喷涂轨迹优化关键技术研究[D]. 镇江：江苏大学, 2012.
ZHAO De’an. Research on Trajectory Optimization of Electrostatic Spray Robot with Variable Parameter[D]. Zhenjiang: Jiangsu University, 2012.
[14] 陈伟,赵德安,梁震. 喷涂机器人的喷枪轨迹优化设计与实验[J]. 中国机械工程,2011,22(17):2104-2108.
CHEN Wei, ZHAO De′an, LIANG Zhen. Design of Tool Path Planning of Robotic Spray Painting and Its Experiments[J]. China Mechanical Engineering, 2011,22(17):2104-2108.
[15] CONNER D C, et al. Paint Deposition Modeling for Trajectory Planning on Automotive Surfaces[J]. IEEE Transactions on Automation Science & Engineering, 2005, 2(4):381-392.
[16] CONNER D C, et al. Development of Depositio-Models for Paint Application on Surfaces Embedded in IR3 for Use in Automated Path Planning[C]//IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Lausanne, 2002:1844-1849.
[17] CHEN H, SHENG W，XI N， et al. Automated Robot Trajectory Planning for Spray Painting of Free-form Surfaces in Automotive Manufacturing[C]//IEEE International Conference on Robotics and Automation. Washington D C, 2002:450-455.
[18] 陆保印. 喷涂机器人喷枪轨迹设计与优化研究[D].兰州：兰州理工大学,2010.
LU Baoyin. Study on Design and Optimization of Spray-gun Trajectory for Spray-painting Robot[D]. Lanzhou：Lanzhou University of Technology, 2010.
[19] THORPE J A. Elementary Topics in Differential Geometry [M]. Berlin：Springer-Verlag, 1979：139-142.
[20] ROSS S M. A First Course in Probability Theory[M].8th ed. New Jersey : Pearson, 2010:218.
[21] ARIKAN M A S, BALKAN T. Process Simulation and Paint Thickness Measurement for Robotic Spray Painting[J]. CIRP Annals: Manufacturing Technology, 2001, 50(1):291-294.
[22] 梅向明, 黄敬之. 微分几何[M] 4版. 北京：高等教育出版社, 2008:75.
MEI Xiangming, HUANG Jingzhi. Differential Geometry[M]. 4th ed. Beijing: Higher Education Press, 2008:75.
