一种可重构、部分运动解耦的空间n维平移1维转动并联机构的拓扑及其运动学设计

三自由度并联机构具有结构简单、制造成本低、控制方便等优点，因而成为研究和应用的热点，其中，三维纯平移和三维纯转动并联机构研究较多[1-7]；而具有转动和移动混合输出的三自由度并联机构，同样具有较好的应用价值。

关于一平移两转动(1T2R)并联机构，研究较多的有HUNT[8]提出的3-PRS并联机构,JOSHI等[9]对3-RPS机构进行了奇异分析。Tricept和TriVariant机器人[10-12]中的3-UPS-UP和2-UPS-UP并联机构、Exechon机器人[13]中的2-UPR-USP并联机构以及3-PRRU并联机构[14]都属于1T2R并联机构。王飞博等[15]对3-PRRU、2-PRU-PRRU和2-PRS-PRRU这3种1T2R并联机构进行了构型优选，对2-UPR-USP并联机构进行了尺度综合[16]；汪满新等[17]运用虚拟链法对1T2R型并联机构进行型综合，得到多种含冗余驱动/过约束的新构型；胡微微等[18]提出一种((2-RPR&RP)+R)&UPR并联机构。

关于两平移一转动(2T1R)机构的研究相对较少，这类机构可用于空间抓放定位设备、娱乐设备、调姿装备等。KONG等[19]、杨宁等[20]分别基于螺旋理论对2T1R型并联机构的结构综合进行了研究；REFAAT等[21]根据位移李群理论对三自由度混合运动并联机构进行了型综合研究；张彦斌等[22]根据线性变换理论，对无奇异完全各向同性2T1R型空间并联机构进行了结构综合；杨廷力等[23]根据基于方位特征(position and orientation characteristic, POC)的并联机构拓扑设计理论与方法，得到了多种含有平面闭回路的2T1R型新型机构。

本文设计了一种动平台可重构、零耦合度且运动部分解耦的nT1R(n=2,3)并联机构，建立了相关运动学模型并进行了运动学分析。

1 2T1R并联机构的设计及其拓扑分析

1.1 机构设计

根据基于POC方程的并联机构拓扑结构设计理论和方法，本文提出的三自由度可重构并联机构如图1所示，静平台0与动平台1用一条混合支链(hybrid single-open-chain, HSOC)和一条无约束支链Ⅲ连接。

混合支链包含一个子并联机构、一个转动副R4。子并联机构由支链Ⅰ、Ⅱ组成，支链Ⅰ包含一个由4个R副(Ra，Rb，Rc，Rd)组成的平行四边形，和具有平行轴线的3个转动副(R11‖R12‖R13)；支链Ⅱ由3个平行轴线的转动副(R21‖R22‖R23)组成。进一步，子平台1′通过转动副(R4)串联连接于动平台1。因此，混合支链的拓扑表示为RPa-R‖R‖R-R，简记为RPa‖3R-R；而无约束支链Ⅲ为R31-S31-S32，其拓扑为RSS型。因此，该并联机构简记为RPa‖3R-R+RSS。

动平台1上转动副R4的轴线与x、y、z轴的夹角分别为α、β、γ。实际使用时，可通过杆9重构调节为平行于x、y、z轴，从而使动平台1产生绕3个特定轴线的转动输出，适用于空间3种应用场合(详见1.2.3节)。

1.2 机构的输出特性分析

1.2.1 并联机构的POC方程

并联机构的POC方程[23]为

其中，MPa为机构动平台的POC集；Mbi为第i条支链末端的POC集；Msj为当支链含有子序单开链(single-open-chain, SOC)串联时，第j个子SOC的POC集。

1.2.2 动平台的POC集分析

(1)机构的拓扑结构。组成子并联机构(sub-PM)的Ⅰ、Ⅱ支链的拓扑结构分别为SOC1{-R11‖R12(-P4R-)‖R13-}和SOC2{-R21‖R22‖R23-}。

静平台0上R11与R21为垂直布置，即R21⊥R11；R31可任意布置，取R31‖R11。选定动平台1的几何中心p为基点O′。

(2)确定混合支链HSOC末端构件的POC集。设H为子并联机构子平台1′上的任一点，则H点处的POC集为

即子平台1′始终产生oyz平面内的二维平移。

因此，该子并联机构串联转动副R4后，构成的混合支链的POC集为

(3)确定动平台POC集。RSS型Ⅲ支链的POC集为3T3R，因此，动平台1的POC集为

其中，{t1(⊥R4)}为伴随移动。

1.2.3 动平台输出运动的分析及实现

由式(3)可知，该机构在oyz平面内的两维平移运动量y、z仅由驱动副R11、R21确定，因此，该机构具有部分输入-输出运动解耦性(详见2.1.2节)。

(1)当且仅当R4的轴线平行于R23的轴线(即平行于x轴线)时，动平台1能产生在oyz平面(即垂直于R23轴线的平面)内的两维平移及绕R4轴线的一维转动(2T1R)，为3个独立运动；

(2)当R4的轴线在其他位置时，动平台1中心都会产生三平移一转动(3T1R)的输出运动，但其中沿x轴向的平移为寄生运动；如选动平台1上的转动副R4为基点，即安装末端操作器，则末端操作器仍产生在oyz平面内的两维平移及绕R4轴线的一维转动(2T1R)。

在实际使用中，动平台1转动轴姿态的可重构性可以这样实现：

如图2所示，杆9与子平台1′通过球副H连接，可实现下列3种不同的固定姿态后予以锁紧：①当α=180°、β=90°、γ=90°即杆9平行于x轴时，动平台1产生2T1R的3个独立运动。②当α=90°、β=90°、γ=0°即杆9平行于动平台1的z轴(即其法线)时，动平台1会产生沿x轴的寄生平移运动，因此，动平台产生3T1R的输出运动，但其中仅有3个独立运动。③当α=90°、β=90°、γ=180°即杆9平行于y轴时，动平台1会产生沿x轴的寄生平移运动，即动平台会产生3T1R的输出运动，但其中仅有3个独立运动。

也就是说，动平台具有的寄生的平移运动量可通过重构动平台1的转动轴线的特殊布置(如平行于x轴，即情形①)予以消除，这是本机构的一个重要特性。

这种动平台转动轴方向的可重构性增强了该机构的适应能力和实用价值。

1.3 机构的自由度计算

1.3.1 并联机构全周性的自由度公式

并联机构全周性的自由度公式[23]为

式中， F为机构自由度；fi为第i个运动副的自由度；m为运动副数；n为构件数；v为独立回路数；ξLj为第j个回路的独立位移方程数；

为前j条支链组成的子并联机构的POC集；Mb(j+1)为j+1条支链末端构件的POC集。

1.3.2 机构的自由度计算

(1)确定独立回路的位移方程数。该机构可分解为两个独立回路：①由支链Ⅰ、Ⅱ组成的子并联机构为第1个独立回路，即HSOC1{-R11‖R12(-P4R-)‖R13-R23‖R22‖R21-}

而该子并联机构的POC集已由式(3)计算出，因此，由式(5)可知，该子并联机构的自由度为

②上述子并联机构与R4、支链Ⅲ(即SOC3{-R4-S32-S31-R31-})组成第2个回路，由式(6)可得

(2)确定该并联机构的自由度。由式(5)得

因此，该机构的自由度为3，可取静平台上的R11、R21、R31为驱动副。计算自由度时，若将该机构视为包含一条等效混合支链和支链Ⅲ组成的一个独立回路，即SOC{-P*-P*-R4-S32-S31-R31-}，则由式(6)其独立位移方程数ξL为

显然，计算自由度时，如将含回路的子并联机构用两平移等效支链(P*-P*)替代，则会比较方便。

1.4 机构的耦合度计算

1.4.1 耦合度的定义

由基于序单开链(SOC)单元的机构组成原理[23]知，任意机构可分解为若干个基本运动链(basic kinematics chain， BKC)，进一步，独立回路数为v的BKC可分解为v个单开链SOC(Δj)(j=1,2,3,…,v)，而第j个单开链(SOCj)的约束度定义为

式中，mj为第j个SOC的运动副数；fi 为第i个运动副的自由度(不含局部自由度)；Ij 为第j个SOC的驱动副数。

Δj有正、零、负3种形式，但须满足

因此，BKC的耦合度к定义为

其中，

表明BKC分解为v个SOC(Δj)可有多种方案，应取(∑|>Δj|)为最小者。к反映了BKC内各回路变量之间的关联程度，且已证明：к值越大，机构运动学正解、动力学反解求解的复杂度越高，对于к=0的BKC，其运动量都能独立求得解析解；若к>0，意味着运动量需多个回路方程联立才能求解，可用к维搜索法求得其位置正解或动力学反解。

1.4.2 机构的耦合度к计算

1.3.2节已计算出两个回路的独立位移方程数，分别为 ξ1=5，ξ2=6，因此，它们的约束度Δ1、Δ2由式(7)计算，得

因此，该机构包含两个BKC，即BKC1、BKC2。由式(8)得，其耦合度分别为к1=0、к2=0,则运动学正解可直接求出解析式。

2 机构的位置分析

2.1 位置正解

2.1.1 坐标系的建立与参数标注

2T1R机构的运动学建模如图3所示，静坐标系oxyz建立在静平台0的几何中心，且x轴与A1A3连线重合，y轴与A1A3连线垂直，动坐标系puvw的原点p位于直线C3D3中点，v轴重

合于直线C3D3，u轴、w轴如图3所示。

图3中，oA1=oA2=oA3=l；C3D3=l8；杆2、3、4的长度均为l1，即A1B1=A2B2=A3B3=l1 ；B1C1=l2 ；B2C2=l3 ；B3C3=l5；C1D1=l4 ；D1E=EC2=l6；HD3=l7。

设A1B1、A3B3与x轴正向的夹角为θ1、θ3，A2B2与y轴正向的夹角为θ2，HD3与x、y、z轴的夹角分别为α、β、γ，动平台1上p的坐标为(x,y,z)，其姿态角为θ。

2.1.2 BKC1(子并联机构)的位置分析

BKC1(子并联机构)的位置分析即求子平台1′上点C1、C2的坐标。易知，在静坐标系oxyz中，A1、A2、A3点的坐标分别为(l,0,0)、(0,l,0)、(-l,0,0)；B1、B2的坐标分别为(l+l1cosθ1,0, l1sinθ1)、(0,l+l1cosθ2,l1sinθ2)。

由1.2.2节可知，在机构运动过程中，子平台1′仅产生沿z、y轴的平移，即xC2=0，则C2、C1的坐标分别为(0,yC2,zC2)、(l-l6,yC2-l6,zC2-l4)。

于是，由杆长约束B1C1=l2和B2C2=l3，有位置约束方程：

若a=0且b=0，则

但因l2<l3，则c<0，因此，a、b不同时为零。于是有

由式(11)、式(12)可以看出，子平台1′的两维平移运动量y、z仅由驱动副R11、R21的输入角θ1、θ2确定，即该机构具有部分输入-输出运动解耦性。

2.1.3 BKC2的位置求解

BKC2的位置求解即求动平台上p点的坐标(x,y,z)和姿态角θ。

当C1、C2的坐标求出后，易知H点坐标为(-l6,yC2-l6,zC2)；将动坐标系沿v轴平移

使p点与D3点重合，得新的动坐标系p′u′v′w′，则p′点(D3点)的坐标OtP′为

而C3点的坐标为

其中，p′C3为C3点在动坐标系p′u′v′w′下的坐标

为动坐标系p′u′v′w′相对于静坐标系的旋转矩阵，即

f11=fxfx(1-cosθ)+cosθ

f12=fyfx(1-cos θ)-fzsin θ

f13=fz fx (1-cos θ)+fysin θ

f21=fx fy(1-cos θ)+fzsin θ

f22=fyfy(1-cosθ)+cosθ

f23=fzfy(1-cos θ)-fxsin θ

f31=fxfz(1-cos θ)-fzsin θ

f32=fyfz(1-cos θ)+fxsin θ

f33=fzfz(1-cosθ)+cosθ

式中，fx、fy、fz分别为x、y、z轴上的方向余弦，即cosα、cosβ、cosγ。

于是，由D3、C3点坐标，易求解p点的坐标(x,y,z)。

进一步，由杆长约束B3C3=l5，得位置约束方程：

将式(15)整理化简得

a2=(xB3-x)2 b2=(yB3-y)2 c2=(zB3-z)2

从而求得该机构动平台的姿态角。

2.2 位置逆解求解

已知：动平台1上p的坐标(x,y,z)和姿态角θ，求输入角θ1、θ2、θ3。

由式(14)可知，C3点的坐标为(l8f12/2+x，l8f22/2+y，l8f32/2+z)，则D3点的坐标为(2x-xC3,2y-yC3,2z-zC3)；而H点的坐标为(-l6,yD3-l7cosβ,zD3-l7cosγ)。于是，C1、C2点的坐标分别为(l6,yH,zH-l4)，(0,yH+l6,zH)。

由杆6、7、8的杆长约束，可建立方程：

由式(18)～式(20)可得

i=1,2,3 z1=zC1 z2=zC2 z3=zC3

综上可知，当动平台p点的坐标(x,y,z)已知时，输入角θ1、θ2、θ3各有两组解，C1、C2、C3点的坐标各有两组解，故逆解数8×8=64，因此，动平台有64种构型。

2.3 正逆解验算

针对动平台1的第二种姿态，即α=90°，β=90°，γ=0°，进行位置数值验证计算。

参考ABB机器人I4R的尺寸参数，输入杆和平行四边形的尺寸参数与之相同[24]，即l1=350、l2=750；其他结构参数分别为l=300、l3=l5=800、l4=100、l6=150、l7=200、l8=400，单位mm。

取输入角θ1、θ2、θ3分别为25.98°、35.8°、134.52°。由MATLAB计算得机构此时的位置正解，见表1。此时，对应机构的三维构型如图4所示。

取表1中的第1组数据，进行逆解运算，求得输入角θ1、θ2、θ3的8组逆解数值，见表2。由表2可知，第1组逆解数值与正解求解时的3个设定的输入角一致，因此，正逆解公式推导正确。

3 机构的工作空间和转动能力分析

3.1 工作空间分析

工作空间是衡量并联机构性能的一个重要指标。本文采用极坐标空间三维搜索法，基于上述第二种姿态时求得的机构位置逆解，查找该机构工作空间内所有满足杆长约束、转角约束、干涉约束的点，即预先设定该机构工作空间的z向高度范围，通过改变搜索半径以及搜索角度，找到工作空间的边界。

设定搜索范围为：300 mm≤z≤1 200 mm， -π≤θ≤π，0≤ρ≤300 mm；运用MATLAB软件编程，得到该机构工作空间的三维立体图(图5)；其中，不同高度z处的xy截面图见图6。

由图5和图6可知：

(1)机构的工作空间相对于直线T-T具有良好的对称性，这与实际结构关于直线T-T对称是一致的。

(2)当z≤500 mm时，该机构的工作空间不连续，存在空洞。

(3)当z∈[700, 1 100] mm时，截面连续且形状比较规则，该区域为末端操作器的有效工作空间；随着z的增大，截面面积逐渐减小。

(4)截面在x方向上较短，这是因为x方向平移量是由绕转动副R4转动产生的寄生量，取决于动平台长度的一半(l8/2)。

3.2 机构的转动能力分析

机构的动平台转角分析是评估并联机构转动角度能够到达的范围的大小。同样，基于上述第二种姿态时机构的位置逆解方程，采用极限边界搜索法，可以求出机构动平台1上D3点在工作空间内任意位置时转角的范围。

由MATLAB计算D3点在oyz平面上各点的转角θ的范围(图7)。

由图7可知，机构工作空间各点转角θ的范围很大，由图7a和图7b可看出：①动平台处于点A(0,900)mm、B(-600,700)mm时，其转角范围分别为[-180°,180°]、[-90°,120°]；②A点处于的深色区域内，机构的转角能达到[-180°，180°]，约占总区域面积的65%，表明机构的动平台具有较大的转动能力。

4 机构的奇异性分析

4.1 机构奇异性原理

设机构动平台末端执行器的输出速度为

驱动副输入角速度

则支链Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ满足的3个位置约束方程(式(18)～式(20))可统一表达为

全微分后可表示为

u11=2(zC1-zB1)l1cosθ1+2(xC1-xB1)l1sinθ1

u22=2(zB2-zC2)l1cosθ2+2(yC2-yB2)l1sinθ2

u33=2(zB3-zC3)l1cosθ3+2(xC3-xB3)l1sinθ3

v11=2yC1 v21=2(yC2-yB2) v31=2yC3

v12=2(zC1-zB1) v22=2(zC2-zB2)

v32=2(zC3-zB3) v13=l8yC1sinθ

v23=l8(yC2-yB2)sinθ

v33=2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ

依据Jp、Jq矩阵是否奇异，将机构的奇异位形分为如下三类:①当det(Jq)=0时，机构发生输入奇异；②当det(Jp)=0时，机构发生输出奇异；③当det(Jq)=det(Jp)=0时，机构发生综合奇异。

4.2 奇异位形分析

机构发生输入奇异，意味着每条支链靠近驱动杆的两根杆处于折叠在一起或完全展开状态。这时，动平台的自由度数减少。此时，det(Jq)=0，该行列式方程解的集合K为

且三种情况分别为

(1)K1={(xC1-xB1)sinθ1+(zB1-zC1)·cosθ1=0}，即A1、B1、C1三点在oxz平面上的投影共线；

(2)K2={(yC2-yB2)sinθ2+(zB2-zC2)·cosθ2=0}，即A2、B2、C2三点共线；

(3)K3={(zB3-zC3)cosθ3+(xC3-xB3)·sinθ3=0}，即A3、B3、C3三点在oxz平面上的投影共线。

图8所示为满足K1的三维构型。

机构发生输出奇异，意味着每条支链靠近动平台的杆，处于折叠在一起或完全展开的状态，此时的动平台自由度增多，即使锁住输入，动平台也可能存在自由度输出。设

(wk1,wk2,wk3,wk4)=Ek k=1,2,3

若det(Jp)=0，则向量e1、e2、e3有如下两种情况：

(1)存在2个向量线性相关。

①若e1=ke2，取w12=kw22，则

即E1≡kE2，其三维构型为向量B1C1、B2C2在oyz平面上的投影相互平行，见图9。

②若e2=ke3，取w21=kw31，则

若kw33=w23，则l8(xB3-xC3)cosθ=l8yC3sinθ，当θ满足

时，即有E2≡kE3。其三维构型为向量B2C2、B3C3在oyz平面上的投影相互平行，见图10。

同理可得：e1=ke3，E1≡kE3。

(2)存在3个向量线性相关。

若e1=k1e2+k2e3(k1k2≠0)，即有

k1w23+k2w33=k1(l8(yC2-yB2)sinθ+

k2(2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ)≠w13

同理可得，若任意3个向量(k1k2≠0)均线性无关则第(2)种情况都不成立。

此时，det(Jq)=det(Jp)=0，即输入奇异和输出奇异同时发生。在此位形下，动平台将失去原有的运动特性。因此，取满足K1、K2、K3的条件，代入输出奇异分析中，此时，输出奇异不成立，故该机构不存在综合奇异。

5 机构速度、加速度分析

5.1 速度公式推导

当机构不存在奇异位置时，Jp可逆，由式(22)得

式(26)即为动平台原点的输出速度。

5.2 加速度公式推导

进一步，由式(26)求导得到

当机构不存在奇异位置时，Jp可逆，则

式(28)即为动平台原点的加速度正解公式。

5.3 速度、加速度算例验证

取3个驱动副的角速度匀速，

即角加速度均为0。由MATLAB计算得到动平台的速度与加速度值，见表3、表4。

进一步通过SolidWorks将该并联机构的三维模型导入ADAMS软件中进行仿真，得到动平台的速度与加速度曲线，见图11、图12。

经MATLAB计算得到的速度值(如表3中t=2 s时，vy=-1.324 mm/s，vz=-7.512 mm/s，ω=3.735(°)/s)与运用ADAMS仿真得到的速度(见图11)完全一致，从而验证了推导的速度与加速度公式的正确性。机构动平台的速度、加速度曲线，变化平稳、连续，表明机构的动力学性能较好。

6 结论

(1)本文提出了一种新的零耦合度且具有部分运动解耦性的三自由度并联机构，其动平台能产生空间nT1R输出运动(n=2,3)；建立了该机构动平台绕任意转动轴输出构型下通用的解析运动学模型。

(2)对动平台绕z轴转动输出构型下的运动学进行了详细分析，发现机构的有效工作空间具有较好的对称性；截面在x方向上较短，这是因为x方向平移量是由绕转动副R4转动产生的寄生量，取决于动平台长度的一半(l8/2)。机构动平台转动能力分析表明：动平台转角θ的范围较大，能达到[-180°，180°]的区域，约占总区域的65%，表明机构动平台具有较大的转动能力。该机构动平台速度、加速度变化平稳，具有较好的动力学性能。

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